I.
Soit le domaine de définition de la fonction f,
car
pour tout
.
1)
2) est dérivable sur
comme puissance d'une fonction dérivable sur
D'où par produit est dérivable sur
dérivable sur
et
pour tout réel; par quotient
dérivable sur
Calculons f'(x)
3) f continue et strictement croissante sur donc f réalise un e bijection continue de
sur
et
donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équaiton f(x) = 1 admet un solution unique
Montrons
La restriction de f à [3 ; 4] est une bijectio continue et f(3) < 1 < f(4) donc l'équation f(x) = 1 admet une solution
II.
1)a) g(x) existe si et seulement
or
D'où
b)
en posant h(x) = ln|x|
on a
c)
soit donc
stable par passage à l'opposé)
g(-x) = f(h(-x)) or h paire
d'où
III 1) c) Aussi g est paire sur Dg
d)
x >0 donc h(x) = lnx or k(x) = f(h(x))
et
Par composée
et
Par composée
Etude des brances infinies en
Pour x > 0 lnx
donc
admet en k une branche parabolique de direction celle de l'axe des abscisses.
2) a) on a k(x) = (f o h)(x)
En utilisant la forme de la dérivation d'une forme composéé on obtient : ;
k'(x)garde un signe positif sur mais k'(x) s'annule en s vérifiant lnx-1=0u lnx+1=0
x=e ou
b)
coupe l'axe des abscisses en A(e,0)
Si
Si
Si
3) a) K est continue et strictementcroissante sur par composée de deux fonctions continue et strictement croissante.
D'où K réalise une bijection de sur
D'où sur
Donc
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