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Corrigé 2013 : Problème

Détails: Catégorie : synthèse

PARTIE A.

1. Soit $\lim_{x\to 0}e^{x}-x-1=\lim_{x\to 0}\left[\frac{e^{x}-1}{x}-\frac{x}{x}\right]$ or $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$ et $\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1$

donc $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-x-1}{x}=1-1=0$

En conclusion $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-x-1}{x}=0$

2. $k:]0;+\infty[\rightarrow\mathbb{R}$

(a) $x\mapsto x(1-lnx)$ continue sur $]0;+\infty[$ ,

d’où $x\mapsto x$ (1 - ln x) est continue sur ]0; +8[ par somme.

or $x\mapsto x$ est continue sur $]0;+\infty[$ d’où par produit $x\mapsto x(1-lnx)$ est continue sur $]0;+\infty[$ .

(b) $k:]0;+\infty[\rightarrow\mathbb{R}$

$x\mapsto\frac{3}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x^{2}lnx$

$x\mapsto\frac{3}{4}x^{2}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , donc elles est dérivable sur $]0;+\infty[$

et $x\mapsto\frac{1}{2}x^{2}lnx$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ par produit,

donc K est dérivable sur $]0; +\infty[$ par somme.

Calcul de K'(x)
$k'=\left(\frac{3}{2}x^{2}\right)^{\prime}-\frac{1}{2}(x^{2}lnx)'=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\left(2lnx+x^{2}\left(\frac{1}{2}\right)\right)$

$=\frac{3}{2}x-xlnx-\frac{1}{2}x=x-lnx$

d'où k'(x)=k(x)

PARTIE B.

Soit f(x) = $\left\{\begin{array}{l}e^{x}-x-1,six\leq0\\xlnx,six>0\end{array}\right.$ (1)

1. si $x\leq 0$ alors $e^{x}-x-1$ existe t si x > 0 alors xlnx exite d'où

f(x) existe sssi $x\in]-\infty ;0]\,\cup\]0;+\infty[$

$D_{f}=]-\infty ;+\infty[.$

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}e^{x}-x-1=+\infty$

$\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=f(0)=0$ ,

$\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{0^{+}}\xlnx$ or $\lim_{x\to 0^{+}}xlnx=0$

d'où $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0$

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}xlnx=+\infty$

2.(a) f est définie en 0 car dans $[0;+\infty[f(x)=e^{x}-x-1$ et $x\mapsto e^{x}-x-1$ est définie en 0 et prend la valeur 0 on a alors f(x) = 0

$\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=f(0)=0$ et $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=f(0)=0$ ,

d'où $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0$

Ainsi f est continue en 0

(b) $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)+f(0)}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{e^{x}-x-1}{x}=0$ d'après la partie A.

$\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)+f(0)}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}lnx=-\infty$

Donc f n’est pas dérivable en 0 car ne l’étant pas en 0 à droite.
Interprétation graphique : La courbe représentative de f, $f,(C_{f}$ ,
admet au point d’abscisse 0 une demi-tangente d’équation x = 0
à gauche et une demi-tangente d’équation y = 0 à droite.

3. $x\mapsto e^{x}$ et $x\mapsto -x-1$ sont continues sur $\mathbb{R}$

donc sur $]-\infty ;0[$ ,

$x\mapsto xlnx$ continue sur $]0;+\infty [$ par produit et f est continue en 0, donc f est continue sur $\mathbb{R}$ .

$x\mapsto e^{x}$ et $x\mapsto -x-1$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur $]-\infty ;0[$ ,

$x\mapsto xlnx$ dérivable sur $]0;+\infty [$ [ par produit

donc f est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ .

4. Pour $x<0,f'(x)=e^{x}-1$ or si x < 0 alors $e^{x}< 1$

d'où f'(x) < 0 pour x< 0.

Pour x>0, $f'(x)=lnx+1$ or $lnx+1\geq 0$ si $x in [\frac{1}{e};+\infty[$ et $lnx+1\leq 0$

si $x\in]0;\frac{1}{e}]$

d'où $f'(x)\geq 0$ pour $x\in[\frac{1}{e};+\infty[$ et $f'(x)\leq 0$ pour $x\in]0;\frac{1}{e}]$

5. Dressons son tableau de variations.

6. $f(x)-(-x-1)=e^{x}$ d'où $\lim_{x\to -\infty}f(x)-(-x-1)=\lim_{x\to -\infty}e^{x}=0$

donc $\Delta:y=-x-1$ est asymptote à $C_{f}$ au voisinage de $-\infty$ .

7. $\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$ donc $C_{f}$ admet une branche infinie au voisinage de $+\infty$ or

$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}lnx = +\infty}$ donc $C_{f}$ admet une branche parabolique de direction (y'0y)au voisinage de $+\infty$

8. Traçons la courbe $C_{f}$ de f dans un repère orthonormé $(0,\vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm

9. Soit h la restriction de f à $[\frac{1}{e};+\infty[$ .

Dressons le tableau de variation de h.
h est continue et strictement croissante sur $[\frac{1}{e};+\infty[$ donc elle est bijective. Elle réaliseune bijection de $[-\frac{1}{e};+\infty[$ vers $J=[-\frac{1}{e};+\infty[$ d'après le tableau de variations de f.

(b) Pour la courbe $C_{h^{1}}}$ de $h^{1}$ ,bijection réciproque de h, voir figure.

10. (a) Ce domaine est l'endemble des points M(x,y) tels que $\frac{1}{e}\leq x\leq e$
et $h(x)\leq y\leq x$ On a donc :

$A_{1}=\int^{e}_{\frac{1}{e}}(x-h(x))dx=\int^{e}_{\frac{1}{e}}(x-xlnx)dx=\int^{e}_{\frac{1}{e}}k(x)dx$ d'après la PARTIE A.

$A_{1}=\left[K(x)\right]^{e}_{\frac{1}{e}}=\left(K(e)-K\left(\frac{1}{e}\right)\right)\times 4cm^{2}$

$A_{1}=\left(e^{2}-\frac{5}{e^{2}}\right)cm^{2}$

(b) Ce domaine est le symétrique, par rapport à la première bissectrice, du domaine d'aire $A_{1}$ de la question 10)a) d'où $A_{2}=A_{1}=\left(e^{2}-\frac{5}{e^{2}}\right)cm^{2}$

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