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corrigé epreuve 2012 : fonctions numériques

Détails: Catégorie : fonctions numeriques

A) $g(x)=1-x^2-lnx$

1) $g(1)=0$ (0,25 point)

2) $Dg=]0 ;+\infty[$

Limites

$\lim_{x\rightarrow0^+}g(x)=+\infty$ $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty$ (0,25 point + 0,25 point)

Continuité et dérivabilité de g

$x{\rightarrow1-x^2}$ est continue et dérivable sur IR donc sur $]0,+\infty[$

$x\rightarrow-lnx$ est continue et dérivable sur $]0,+\infty[$

$\Longrightarrow$ $x\rightarrow1-x^2-lnx$ est continue et dérivable sur $]0,+\infty[$ (0,5 point)

Dérivée de g

$g’(x)=-2x-\frac{1}{x}=\frac{-2x^2-1}{x}$

Signe de g’(x) et sera de variation de f.

g’(x) a le même signe que $-2x^2-1$ sur $]0,+\infty[$

Or $-2x^2-1<0$ pour tout réel x

D’où $g’(x)<0$ sur $]0,+\infty[$

$\rightarrow$ g est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$ . (0,5 point)

Tableau de variation de g

3) D’après le tableau de variations de g et la question 1)

Sur $]0,+\infty[$ g(x) > 0

et sur $]1,+\infty[$ g(x) < 0 (0,5 point)

B) $f(x)=2-x+\frac{lnx}{x}$

1) f est définie si et seulement si $x >0$

$D_f=]0,+\infty[$ (0,25 point)

Limites:

$\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=-\infty$ $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty$ (0,25 point + 0,25 point)

La droite d’équation x = 0 est une asymptote verticale a’ (Cf).

Continuité et dérivabilité de f

$\lim_{x}\rightarrow lnx$ est continue et dérivable sur $]0,+\infty[$

$\lim_{x}\rightarrow x$ est continue et dérivable sur IR donc sur $]0,+\infty[$

$\Longrightarrow$ $\lim_{x}\rightarrow\frac{lnx}{x}$ est continue et dérivable sur $]0,+\infty[$ (1)

De même x⟼2-x est continue et dérivable sur IR               (2)

(1) et (2) $\rightarrow f$ est continue et dérivable sur $R_{+}^{*}$ .                   (0,5 point)

Dérivée de f :

$f\prime(x)=-1+\frac{1-lnx}{x^2}=\frac{1-x^2-lnx}{x^2}$     pour tout $x\in R_{+}^{*}$ .                    (0,5 point)

Signe de f’(x) et sens de variations de f :

Pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$        $f\prime(x)=\frac{1-x^2-lnx}{x^2}=\frac{g(x)}{x^2}$     a le même signe que g.

Sur $]0 ;1[ f\prime(x) > 0 \longrightarrow f$ f est strictement croissante sur $]0 ;1[$ (0,25 point)

Sur $]0 ;+\infty[ f\prime(x) < 0 \longrightarrow f$ f est strictement décroissante sur $]0 ;+\infty[$ . (0,25 point)

$f\prime(1) = \frac{g(1)}{1}=0 \longrightarrow f\prime$ ’ s’annule en 1.

Tableau de variation de f :

3) a) Démontrons que la droite (∆) d’équation y = - x + 2 est une asymptote à la courbe de f.

$\lim_x\to +\infty\left[f(x)-y\right] = \lim_x\to +\infty\left[2-x+\frac{lnx}{x}+x-2\right]=\lim_x\to +\infty\frac{lnx}{x}=0$

$\longrightarrow$ $\delta : y=-x+2$ est asymptote à la courbe de f au voisinage de $+\infty$ . (0,25 point)

b) Position de (Cf) par rapport à $\delta$ .

$f(x)-y=\frac{lnx}{x}>0$ si et seulement si x>1 donc sur $]1, +\infty[$ (Cf) est au dessus de $\delta$ .

$f(x)-y=\frac{lnx}{x}<0$ si et seulement si $x\in ]0,1[$ donc sur $]0,1[$ (Cf) est en dessous de $\delta$

$f(x)-y=0$ si et seulement si x = 1 donc (Cf) et $\delta$ se coupent au point d’abscisse 1.
(0,25 point)

4) Soit $A ()$ le point où la tangente est parallèle à (∆).
Alors on a $f\prime(x_0)=-1$ $\longrightarrow$ $\frac{g(x_0)}{x_0^2}=-1$ avec $x_0>0$
D’où $g(x_0)=-x_0^2, x_0>0$