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Corrigé Epreuve 2006: Etude de fonction et calcul d’aire

Détails: Catégorie : fonctions numeriques

I.

$f\left(x\right)=x\left(1+{\mathrm{e}}^{2-x}\right)$

1) $h\left( x\right) =1+\left( 1-x\right) {\mathrm{e}}^{2-x}$

a) $Dh= \mathbb{R}$

h est continue et dérivavle sur $\mathbb{R}$

$h{\prime}\left( x\right) =-{\mathrm{e}}^{2-x}+\left( x-1\right) {\mathrm{e}} ^{2-x}=(x-2){\mathrm{e}}^{2-x}$

b)

$h(2)=1{-\mathrm{e}}^{0}=0$

$h(x){>}0$ , pour x ${\in } \mathbb{R} - \{2\}$

$h(2)=0$

2) a)

$\lim_{x\rightarrow +\infty }{f(x)}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }{f(x)}=-\infty$

b)

$\frac{f\left( x\right) }{x}=1+{\mathrm{e}}^{2-x}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{{f(x)}}{x}=+\infty$

$(C)$ admet en $-{\infty }$ une branche parabolique de direction $(Oy)$

c)

$f(x){-}x=x{\mathrm{e}}^{2-x}$

$f(x){-}x=\frac{x}{{\mathrm{e}}^{x}}\times e^{2}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }{\left( f(x)-x\right) }=0$

d) $f(x){-}x=x{\mathrm{e}}^{2-x}$

x ${\in }]{}-{\infty },0[$ , $(C)$ en dessous de $\Delta$

x ${\in }]0,+{\infty }[$ , $(C)$ en dessus de $\Delta$

$(C)$ et $\Delta$ se coupent en l{'}origine $O$

3) a)

$f'\left( x\right) =1+{\mathrm{e}}^{2-x}+x\left( -{\mathrm{e}}^{2-x}\right)$

$f'\left( x\right) =1+\left( 1-x\right) {\mathrm{e}}^{2-x}=h\left(x\right)$

b)

$f$ continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ donc $f$ bijective de $\mathbb{R}$ sur lui même

c)

$f\left( 2\right) =4\qquad f^{-1}\left( 4\right) =2$

et $f^{\prime }(2)=0$ \ donc $f^{-1}$ non dérivable en $4$ .

d) $T:y=4$

pour $x\leqslant 2$ , $f\left(x\right)\le 4$

pour $x\ge 2$ , $f\left(x\right)\ge 4$

e)

1.

$R_{\lambda }=\text{\{}M\left( x,y\right) ,0\leqslant x\leqslant \lambda \mathit{et}x\leqslant y\leqslant f\left( x\right) \text{\}}$

$a\left( \lambda \right) =\int_{0}^{X}{}\left( f\left( x\right) {-}x\right) \mathit{dx}$

$a\left(\lambda \right)=4\int _{0}^{X}\mathit{xe}^{2-x}\mathit{dx}$

$u=x\qquad$ \ $v={\mathrm{e}}^{2-x}$

$u'=1\qquad v'=-{\mathrm{e}}^{2-x}$

$a\left(\lambda \right)=4\left[\left[-\mathit{xe}^{2-x}\right]_{0}^{X}+\int _{0}^{X}e^{2-x}\mathit{dx}\right]$

$a\left(\lambda \right)=4\left[-\mathit{xe}^{2-x}-e^{2-x}\right]_{0}^{X}$

$a\left(\lambda \right)=4\left[\left(x+1\right)e^{2-x}\right]_{X}^{0}$

$a\left(\lambda \right)=4e^{2}-4\left(X+1\right)e^{2-X}$

$a\left(\lambda \right)=4e^{2}-4\mathit{Xe}^{2-X}-Xe^{2-X}$

2.

$a=\lim_{\lambda \rightarrow -\infty }{a\left( \lambda \right) }=4e^{2}cm^{2}$

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