PARTIE A
1. a. g(x) existe si et seulement si:
,
par quotient
1.b
Tableau de Variation
2. a. g(0) = 0.
La restriction de g à est strictement croissante et continue et prend ses valeurs dans
qui ontient 0 donc l’équation g(x) = 0 admet
sur une solution unique
. Idem sur
, l’équation admet une solution unique 0 .
et
2. b. 0 étant l’autre zéro de g :
PARTIE B
1. a. Domaine de définition de f.
f(x) existe si et seulement si :
-
- ou ,
- ou x = 0
- d'où ou
ou = x 0
Limites aux bornes du domaine de définition de .
;
1.b. Etudions la nature de la branche infinie au voisinage de .
Donc admet au voisinage de
une branche parabolique de direction celle de l’axe des ordonnées
Etudions la nature de la branche infinie au voisinage de .
Donc admet au voisinage de
ne b n he boliq e de diretion celle de l’axe des ordonnées
2. a.
f(-1) = 0
par quotient et
D’où
Donc est continue en -1.
On a f(0)=0
D’où
Donc est continue en 0.
2. b. Dérivabilité de f en -1.
f est dérivable en -1 à gauche et
Donc non dérivable en -1 car non dérivable en -1 à droite.
Interprétation oint d’abscisse -1.
Au point d’abscisse admet une demi-tangente verticale et une demi- tangente de pente 1 à gauche.
Dérivabilité de f en 0.
Donc est dérivable en 0 et f'(0) = 1.
Interprétation au point d’abscisse 0.
admet à l’origine une tangente de coefficient directeur 1.
3.a. Pour tout on a :
3. b. Pour x < -1, f'(x) =
4. a h est continue et strictement croissante sur , elle réalise donc une bijection de
vers
4.b. a le même sens de variation que h, elle est strictement croissante sur J .
4. c. Figure :
PARTIE C
1. a. Posons et
Avec et
Sur on a
(R)
1. b. On a
Pour tout on
avec
D'où on a
On a sur
Or d’après (R) :
Soit G une primitive de la fonction
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