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Corrigé 2016 :

Détails: Catégorie : algèbre

1. a. Soit $\alpha$ une solution réelle de E alors $\alpha$ vérifie $\alpha^3-13\alpha^2+59\alpha-87=0$

Une solution évidente est 3.

D’où $\fbox{\alpha = 3.}$

1. b. $(z-3)(z^2-10z+29)=0$ = - i

D’où z = 3 ou $z^2-10z+29=0$

Après calculs z = 3 ou z = 5 - 2i ou z = 5 + 2i

L’ensemble des solutions est : S = {3 ; 5 - 2i ; 5 + 2i}

2.a $\frac{b-a}{c-a}= - i$

$\left\{\begin{array}{l}arg\left(\frac{b-a}{c-a}\right)\equiv -\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)\equiv -\frac{\pi}{2}[2\pi]\\\\AB=AC\end{array}\right.$

ABC est rectangle et isocèle en A et direct.

2. b. $\fbox{Arg Z\equiv (\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})[2\pi].}$

z réel non nul sssi arg $Z\equiv 0(\pi).}$

$(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})\equiv 0(\pi)$ .

M décrit la droite (AB) privée de A et de B.

3. a. Soit $M^{\prime}(Z^{\prime})$ l’image de M(Z)par la rotation r de centre I et d’angle $-\frac{\pi}{2}$

Donc $Z^{\prime}-Z_i=e^{-\frac{\pi}{2}}(Z-Z_i)$

On obtient $\fbox{Z^{\prime}=-iZ+3+i}$

3. b. Soit $\Omega$ centre du cercle circonscrit à ABC.

$\Omega$ est le milieu de [BC].

On a $Z_\Omega=\frac{Z_B+Z_C}{2}$ ce qui donne $\fbox{Z_\Omega=5}$

ce qui donne

Soit $r(\Omega)\quad=\quad\Omega^{\prime},Z_{\Omega^{\prime}\quad=\quad iZ_{\Omega}+3+i.}$

D’où $\fbox{Z_\Omega^{\prime}=3-4i.}$

Donc (C’) est le cercle de centre $\Omega^{\prime}}$ et de même rayon que (C).

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