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Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : algèbre

1. Soit $p(z) = z^{3}+ 3z^{2}-3z-5-20i,z\in\mathbb{C}$

a) $p(2+i) = (2+i)^{3}+ 3(2+i)^{2}-3(2+i)-5-20i=5-5+24i=0.$

D'où 2 + i est une racine de p(z) (0,25 pts)

b) p(2+i) = 0 donc p(z) = (z-2-i)q(z) avec $q(z) = z ^{2}+(5+i)z+6+7i$

p(z) = 0 si et seulement si z-2-i =0 où $z ^{2}+(5+i)z+6+7i=0$

On pose $z ^{2}+(5+i)z+6+7i=0$

$\Delta=18i$

Les racines de $\Delta$ sont 3(1-i) et -3(1-i). D'où on a :

$z_{1}=-4+i$ et $z_{2}=-1-2i$

L'ensemble des solutions de l'équation p(z) = 0 est :

S = {2+i,-4+i,-1-2i} (1 pt)

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthomnormé $o,\vec{u},\vec{v}.$

Soient A(2+i), B(-1-2i) et C(-4+i)

a) plaçons les points A,B, et C (0,25 pt)

$AB=3\sqrt{2}$ et $BC=3\sqrt{2}.$ (0,25 pt+0,25pt)

b) on a

$arg\(\frac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}\)$ = $arg\(\frac{z_{\overrightarrow{BC}}}{z_{\overrightarrow{BA}}}\)=argz_{\overrightarrow{BC}})-arg(z_{\overrightarrow{BC}})$

$=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BC})-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{BA})[2\pi]$

$=\overrightarrow{BA}),\overrightarrow{BC})[2\pi]$ (0,25pt)

c) $arg\(\frac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}\)=\(\frac{-1+1}{1+i}\)=arg(i)=\frac{\pi}{2}[2\pi]$ (0,25pt)

d) D'après a) et c) ABC est un triangle rectangle isocèle en B. (0,25pt)

3.a) r : $M(z)\mapsto M^{\prime}(z^{\prime})$ telle que $z^{\prime}=az+b$

$\left\{\begin{array}{ccc}r(B)&=&B\\r(A)&=&C\textrm{ (1)}\end{array}\right.$

$\Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{ccc}az_{B}+-b&=&z_{B}\\az_{A}+-b&=&z_{C}\textrm{ (2)}\end{array}\right.$ (2)

D'où $a=\frac{z_{B}-z_{C}}{z_{B}-z_{A}}=\frac{-1+i}{1+i}=i$ . et

$b=z_{B}(1-a)=(-1-2i)(1-i)=-3-i$

Donc l'application f associée à r est définie par

f(z) = iz - 3 i (0,5 pt)

b) Les élèments caractéristiques de r sont :

- Le centre B d'affixe -1 - 2i.

- L'angle $\theta=\frac{\pi}{2}$ . (0,25pt)

4. T : $M(z)\mapsto M^{\prime}(z^{\prime})$ telle que $z^{\prime}=ia^{2}z+\alpha,\alpha\in\mathbb{C}$

a) Si T est une homothéthie de rapport 2 alors $i\alph^{2}=2$

$i\alph^{2}=2\Leftrightarrow\alph^{2}=-2i\Leftrightarrow\alpha=(1-i)^{2}$ .

D'ou $\alpha=1-i$ ou $\alpha=-1+i$ (0,5pt)

b) si $|\alpha|=2$ et $arg(\alpha)=\frac{\pi}{4}$ alors $\alpha=1-i$ . D'où
$z^{\prime}=2z+1-i$

Donc T est une homothétie de centre $\delta$ d'affixe -1+i et de rapport
k = 2. (0,25pt)

5. g = roT avec $\alpha=1-i$

a) Soit t l'application de $\mathbb{c}$ dans $\mathbb{c}$ associée à T.on a

h(z) = fot(z) = f(2z + 1 - 1) = 1(2x + 1-1)-3-i, d'où

h(z) = 2iz - 2. (0,25 pt)

b) g est une similude directe de :

- centre $\Omega_0$ d'affixe $-\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i$ ,

- rapport k = 2,

- angle $\theta -\frac{\pi}{5}$

$g=S(\Omega_0(-\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i),2,\frac{\pi}{5}$ (0,5pt)

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