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Corrigé 2014 :

Détails: Catégorie : algèbre

A) 1. Soit z un nombre complexe non nul donné.

– L’écriture algébrique de z est de la forme : z = a+ib, avec a sa partie réelle et b sa partie imaginaire,

– L’écriture exponentielle de z est de la forme : $z = re^{i\theta}$ , avec r son module et un de ses arguments,

– L’écriture trigonométrique de z est de la forme : $z = r(cos\theta +i sin \theta)$ , avec r son module et $\theta$ un de ses arguments,

2. Soient $K(z_{0});M(z)$ et $M\prime(z\prime)$ et soit r la rotation de centre $K(z_{0})$ qui transforme M(z) en $M^{\prime}(z^{\prime})$ on a :

$\left\{\begin{array}{l}KM^{\prime} = KM\\\\(\vec{(KM},\vec{KM^{\prime})}=\theta [2\pi]\end{array}\right.$ (1)

ce qui est équivalent à

$\left\{\begin{array}{l}|z\prime -z_{0}|= |z -z_{0}|\\\\arg\frac{z^{\prime} -z_{0}}{z -z_{0}}\equiv\theta[2\pi]\end{array}\right.$ (2)

D'où $z\prime = e^{i\theta}z+z_{0}(1-e^{i\theta})$

B) Soit $z_{0} = 1-i\sqrt{3}$

1. Ecriture trigonométrique de $z_{0}$

On a $|z_{0}| = 1-i\sqrt{1+3}=2$ ,

Soit $\theta$ un argument de $z_{0}$ alors $cos\theta =\frac{1}{2}$ et $sin\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ce qui donne $\theta =-\frac{\pi}{3}[2\pi]$ d'où

$z_{0}=2\left(cos\frac{\pi}{3}-isin\frac{\pi}{3}\right)$

2. Calculons $z^{4}_{0}=$

$z^{4}_{0}=\left[2(cos\frac{\pi}{3}-isin\frac{\pi}{3})\right]^{4}=16\left(cos\frac{4\pi}{3}-isin\frac{4\pi}{3}\right)=16\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

D'où

$z^{4}_{0}=-8+i8\sqrt{3}$

3. Résolvons l'équation

$z^{4}=1$

$z^{4}=1$ implique $|z|^{4}=1$ et $4arg z =0[2\pi]$ ce qui donne

$|z|=1$ et $4arg z =k\frac{\pi}{2}k\in \mathbb{Z}$

d'où l'ensemble des solutions S de l'équation $z^{4}=1$ est $S=\{-1;1;i;-i\}$

4. Déduisons-en les solutions de léquation (E): $z^{4}=-8+i8\sqrt{3}$

$z^{4}=-8+i8\sqrt{3}$ est équivalent à $\frac{z^{4}}{-8+i8\sqrt{3}}=1$

ce qui est équivalent, d’après B)2), à

$\left(\frac{z}{1-i\sqrt{3}}\right)^4=1$

Ce qui donne d'après B)3 les solutions suivantes :

- Sous forme algégrique :

$z_{0}=1-i\sqrt{3},z_{1}=-1+i\sqrt{3},z_{2}=\sqrt{3}+i,z_{3}=-\sqrt{3}-i$

– Sous forme trigonométrique :

$z_{0}=2\left(cos\frac{\pi}{3}-isin\frac{\pi}{3}\right),z_{1}=2\left(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3}\right),z_{2}=2\left(cos\frac{\pi}{6}-isin\frac{\pi}{6}\right)$