terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé Epreuve 1999: Equations dans C et similitude(4 pts)

Détails: Catégorie : algèbre

Equations dans C et similitude(4 pts - 1999)

Soit l'équation (E) $:z^{3}+(3+2i)z {{}^2} +(1-4i)z-1-2i=0$

1) a) (E) admet une solution réelle zo si on a:

$z_{0}^{3}+(3-2i)z_{0}^{2}+(1-4i)z_{0}-1-2i=0$

$C\prime est-\grave{a}-dire$ $\ z_{0}^{3}+3z_{0}^{2}-2i$ $z_{0}^{2}+z_{0}-4i$
$z_{0}-1-2i=0$

$z_{0}^{3}+3z_{0}^{2}+z_{0}-1+i(-2z_{0}^{2}-4z_{0}-2)=0$

soit $\left\{ \begin{array} [c]{c} z_{0}^{3}+3z_{0}^{2}+z_{0}-1=0\\ et\\ -2z_{0}^{2}-4z_{0}-2=0 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array} [c]{c} z_{0}^{3}+3z_{0}^{2}+z_{0}-1=0\text{ }(1)\\ et\\ z_{0}^{2}+2z_{0}+1=0\text{ }(2) \end{array} \right.$

pour l'équation (2) on a : $z_{0}=-1$

on vérifie dans (1) $(-1)^{3}+3(-1) {{}^2} -1-1=-3+3=0$

donc la solution réelle de (E) est : $z_{0}=-1$

b) étant solution de (E), on peut factoriser

$z^{3}+(3-2i)z^{2}+(1-4i)z-1-2i$ par $z+1$

en utilisant la méthode d'identification

on a : $z^{3}+(3-2i)z^{2}+(1-4i)z-1-2i=(z+1)(z {{}^2} +bz-1-2i)$

on a : $(z+1)(z{{}^2}+bz-1-2i)=z^{3}+bz{{}^2}-(1+2i)z+z{{}^2}-1-2i$

$=z^{3}+(b+1)z {{}^2} +(b-1-2i)z-1-2i$

on obtient alors : $\left\{ \begin{array} [c]{c} b+1=3-2i\\ b-1-2i=1-4i \end{array} \right. soit$ $b=2-2i$

donc l'équation (E) devient : $(z+1)(z{{}^2}+(2-2i)z-1-2i)=0$

$C'est-à-dire$ $z=-1$

On a $z {{}^2} +(2-2i)z-1-2i=0$ $(e)$

résolvons (e) :

on calcule $\Delta^{\prime}=(1-1)2+1+2i$

$=1-1-2i+1+2i$

$=1$

d'où

$z_{1}=\dfrac{-1+i+1}{1}=i$

$z_{2}=\dfrac{-1+i-1}{1}=-2+i$

d'où les solutions de (E) sont : $z_{0}=-1,z_{1}=i,z=-2+i$

2) Soit $A(z_{A}=-1),B(z_{B}=-2+i),C(z_{C}=i)$

a) $|\dfrac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}}|=\dfrac{|z_{B}-z_{A}|}{|z_{C}-z_{A} |}=\dfrac{|-2+i+1|}{|i+1|}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$

$\arg(\dfrac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}})=\arg(\dfrac{-1+i}{1+i})$

$=arg(-1+i)-arg(1+i)$

$=$ $\dfrac{3\Pi}{4}-\dfrac{\Pi}{4}=\dfrac{3\Pi}{2}$

on a : $\arg$ $(\dfrac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}})=(\overrightarrow {AC},\overrightarrow{AB})$

on a $\left\{ \begin{array} [c]{c} \dfrac{AB}{AC}=1\\ (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=\dfrac{\Pi}{4} \end{array} \right.$

donc

$\left\{ \begin{array} [c]{c} AB=AC\\ (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=\Pi4(2\Pi) \end{array} \right.$

on en déduit que triangle ABC est un triangle isocèle rectangle de sommet A.

b) Soit S la similitude laissant invariant

A et telle que $S(B)=C$

$S$ est associé à l'application $\Im$ : $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$

$Z\rightarrow az+b$

Déterminons $a$ et $b$ $\dfrac{ \begin{array} [c]{c} z_{C}=az_{B}+b\\ z_{A}=az_{A}+b \end{array} }{z_{C}-z_{A}=a(z_{C}-z_{A})}$

d'ou $a=\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}=\dfrac{i+1} {-1+i}=e^{-i\frac{\Pi}{2}}$

$b=z_{C}-az_{B}$

$=i-(-i)\ast(-2+i)$

$=i+2i+1=1-i$

d'où $s:z\rightarrow e^{-i\frac{\Pi}{2}}-1-i$

A étant invariable par $S$ donc le centre est $A$ , la mesure de $l'angle$ est $-\dfrac{\Pi}{2}(2\Pi)$ et le rapport 1.

$S(A,-\dfrac{\Pi}{2},1)=R(A,-\dfrac{\Pi}{2})$

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33