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Corrigé Epreuve 2004 : Nombres complexes, transformations et suites

Détails: Catégorie : algèbre

1)

a) ( $U_{~n}$ ) suite géomètrique de raison $\frac{~1}{~2}$ et de premier terme $U_{0}=4$

$U_{n}=U_{0}\times q^{n}\qquad U_{n}=4\times \frac{1}{2^{n}}$ , $n\in \mathbb{N}$ ( $v_{~n})$ suite arithmétique de raison $\frac{~\pi }{~4}$ e premier terme $V_{~0}=\frac{~\pi }{~2}$

$V_{~n}=V_{~0}+nr\qquad V_{~n}=\frac{~\pi }{~4}+n\frac{~\pi }{~2};n\in \mathbb{N}$

b) $\left\vert ~z_{~n}\right\vert =U_{~n}$ et un argument de $z_{~n}$ est $V_{~n}$ $z_{~n}=4\times \frac{~1}{~2^{~n}}e^{~i\left( \frac{~\pi }{~4}+n\frac{~\pi }{~2}\right) };n\in \mathbb{N}$

2)

$~z_{n+1}=4\times \frac{~1}{~2^{~n+1}}e^{~^{~i\left( \frac{~\pi }{~4}+\left( n+1\right) \frac{~\pi }{~2}\right) }};n\in \mathbb{N}$

$\frac{~~z_{n+1}}{~~z_{~n}}=\frac{~4}{~2^{~n+1}}\times \frac{~2^{~n}}{~4}%=\frac{~e^{~^{~i\left( \frac{~\pi }{~4}+\left(n+1\right) \frac{~\pi }{~2}\right) }}}{~e^{~^{~i\left( \frac{~\pi }{~4}+n\frac{~\pi }{~2}\right) }}}$

$\frac{~~z_{~n+1}}{~~z_{~n}}=\frac{~1}{~2}e^{~^{~i\frac{~\pi }{~2}}}$

$~z_{~n+1}=\frac{~1}{~2}e^{~^{~i\frac{~\pi }{~2}}}\times z_{~n}\Longrightarrow z_{~n+1}=\frac{~1}{~2}iz_{~n}$

q= $\frac{~1}{~2}i\qquad ~z_{~0}=4e^{~^{~i\frac{~\pi }{~4}}}=2\sqrt{2}+i2 \sqrt{2}$

3)

a) $z_{n+1}=\frac{1}{2}iz_{n}$ est l'écriture complexe d'une
similitude plane directe. $(a=\frac{~1}{~2}i)$

b) $z_{n+1}=\frac{1}{2}iz_{n}$

$a=\frac{1}{2}i\qquad b=0$

l'affixe du centre est O

$\left\vert a\right\vert =\frac{~1}{~2}\qquad$

un argument de a est $\frac{~\pi }{~2}$

donc F est la similitude plane directe centrée en l'origine de rapport
$\frac{~1}{~2}$ et d'angle $\frac{~\pi }{~2}$

4)

a) $Z_{n}=z_{0}z_{1}z_{2}---z_{n}$

$z_{k}=\frac{4}{2^{n}} e^{^{i\left( \frac{\pi }{4}+k\frac{ \pi }{2}\right) }}$

$Z_{n}=\prod_{k=0}^n \frac{4}{2^{k}} e^{i\left( \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\right) }=\frac{4^{n+1} }{2\sum_{k=0}^n k} e^{^{i\left(\sum_{k=0}^n\left( \frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{2}\right) \right)}$

$Z_{n}=\frac{4^{n+1}} {2\sum_{k=0}^n k} e^{i(\sum_{k=0}^n(\frac{\pi} {4}+k\frac{\pi} {2}) )}$

$Z_{n}=\frac{4^{n+1}}{\frac{2(n+1)n} {2}} e^{i[(n+1)\frac{\pi} {4}+\frac{n(n+1)} {2}\frac{\pi} {2}]}$

$Z_{n}=2^{\frac{(n+1)(4-n)} {2}} e^{i(n+1)^{2}\frac{\pi} {4}}$

b) Si n impaire

$n=2p+1\Longrightarrow n+1=2p+2\Longrightarrow \left( n+1\right) ^{~2}=4\left( p+1\right) ^{~2}$

$Z_{2p+1}=2^{~\left( p+1\right) \left( 4-1-2p\right) }e^{~i\left( p+1\right) ^{~2}\pi }$

$Z_{2p+1}=2^{~\left( p+1\right) \left( 3-2p\right) }e^{~i\left( p+1\right) ^{~2}\pi }$

or $e^{~i\left( p+1\right) ^{~2}\pi }=\pm 1$ donc $Z_{2p+1}$ est réel.

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