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Corrigé Epreuve 2005 : Calcul de {tex}\cos\frac{5\pi}{12}{/tex} et {tex}\sin\frac{5\pi}{12}{/tex}

Détails: Catégorie : algèbre

1) $z^{3}-1=0$ si et seulement si $(z-1)(z^{2}+z+1)=0$

résolvons l'équation: $z^{2}+z+1=0$

$\Delta=1-4=-3=(i\sqrt{3})^{2}$

donc $z=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ ou $z=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

d'où $z^{3}-1=0$ si et seulement si $z=1$ ou $z=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$
ou $z=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

2)

a) Développons $(\sqrt{2}-i\sqrt{2})^{3}$

$(\sqrt{2}-i\sqrt{2})^{3}=(\sqrt{2}-i\sqrt{2})(\sqrt{2}-i\sqrt{2})^{2} =(\sqrt{2}-i\sqrt{2})(-4i)=4\sqrt{2}(-1-i)$

b) E: $z^{3}=4\sqrt{2}(-1-i)$

on pose $u=\frac{z}{\sqrt{2}-i\sqrt{2}}$

donc $z^{3}=u^{3}(\sqrt{2}-i\sqrt{2})^{3}=4\sqrt{2}(-1-i)$

on en déduit que $u^{3}=1$

d'après 1) on a $u=1$ ou $u=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}=e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
ou $u=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{2\pi}{3}}$

or $z=u(\sqrt{2}-i\sqrt{2})$

donc $z=(\sqrt{2}-i\sqrt{2})$ ou $z=(\sqrt{2}-i\sqrt{2})\frac{-1-i\sqrt{3} }{2}$ ou $z=(\sqrt{2}-i\sqrt{2})\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$

c'est à dire

$z=(\sqrt{2}-i\sqrt{2})$ ou $z=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt {2}-\sqrt{6}}{2}$ ou $z=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2} +\sqrt{6}}{2}$

qui sont les racines de E sous forme algébrique.

exprimons ces racines sous forme trigonométrique.

on a $z=u(\sqrt{2}-i\sqrt{2})=u\times2(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2} }{2})=2ue^{-i\frac{\pi}{4}}$

donc:

pour u=1, on obtient $z=2e^{-i\frac{\pi}{4}}$

pour $u=e^{-i\frac{2\pi}{3}},$ $z=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}e^{-i\frac{\pi}{4} }=2e^{-i\frac{11\pi}{12}}$

pour $u=e^{i\frac{2\pi}{3}},$ $z=2e^{i\frac{2\pi}{3}}e^{-i\frac{\pi}{4} }=2e^{i\frac{5\pi}{12}}$

d'où les racines de E sous forme trigonométrique sont:

$2e^{-i\frac{\pi}{4}},$ $2e^{-i\frac{11\pi}{12}}$ $,2e^{i\frac{5\pi}{12}}$

3) En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac{5\pi}{12}$ et $\sin \frac{5\pi}{12}$

on a eu $z=2e^{i\frac{5\pi}{12}}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}+i\frac {\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

donc $e^{i\frac{5\pi}{12}}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+i\frac{\sqrt {2}+\sqrt{6}}{4}$

d'où $\cos\frac{5\pi}{12}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\sin\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

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