1. Soit M un point du plan.pan![]()
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Faisons intervenir les barycentreet
des systèmes
et
respectives.
Alors![]()
E est donc le cercle de diamètre
L'ensemble F est l'arc capable d par les points A, B et l'angle. Soit T l'unique demi droite d'origine
telle que pour tout point P de T, on a :
signons par H l'intersection de la médiatrice de [ AB] avec la perpendiculaire à T passant par A et
par C le cercle de centre H et de rayon HA . Alorsest l'arc de C mit A et B tel que F et T se trouvent dans des demi plans distincts de frontière (AB).
3.a) D étant l'image de B par l'hométhétie de centre A et de rapport
,
.
On en déduit que
.
C étant l'image de B par la rotation de centre A et d'angle
on a AC = AB et ![(\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC})\frac{3}{4}\pi (\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC})\frac{3}{4}\pi](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%2C%5Coverrightarrow%20%7BAC%7D%29%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cpi)
Dans le tableau suivant les points de la deuxième ligne sont les image s par s des points de la première ligne.
![\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline A&C&I \\\hline B&D&I\\\hline\end{tabular} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline A&C&I \\\hline B&D&I\\\hline\end{tabular}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Btabular%7D%7B%7Cc%7Cc%7Cc%7C%7D%5Chline%20A%26C%26I%20%5C%5C%5Chline%20B%26D%26I%5C%5C%5Chline%5Cend%7Btabular%7D)
Le rapport de s estest son angle est modulo
:
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Le rapport est deet son angle est
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b) On a aussi= rapport de s c'est à dire
= 4 ou I appartient à
![]()
Puis= angle de s c'est à dire
ou I appartient
.
I est donc le seul point d'intersection deet de
On a encore
= angle de s c'est à dire
On a encore= angle de s c'est à diere
![]()
D'autre part= - angle de s c'est à dire
On en déduit en faisant la différence c'est à dire
Donc les point I,A,C et D sont cocycliques, autrement dit I appartient au cercle circonscrit au triangle ACD.
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