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Corrigé 2000 : Mouvement d’un solide dans le champ de pesanteur

Détails: Catégorie : Mécanique

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$y=\frac{-gx^{2}}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }+\tan g\alpha$

2.1 Equation de la parabole et région accessible:

En remplaçant dans l'équation cartésiennne:

$\frac{1}{\cos ^{2}\alpha }=1+\tan ^{2}\alpha$ on a:

$\frac{gx^{2}}{2V_{0}^{2}}\tan ^{2}\alpha -x\tan g\alpha +\frac{gx^{2}}{2V_{0}^{2}}+y=0$ si $A\in$ à la, parabole, ses coordonnées vérifie nt l'équation

$\frac{gx_{A}^{2}}{2V_{0}^{2}}\tan ^{2}\alpha -x_{A}\tan g\alpha ++y_{A}=0$

$\Longrightarrow \tan ^{2}\alpha -\frac{2V_{0}^{2}}{gx^{2}}\tan \alpha +\frac{2V_{0}^{2}y_{A}}{gx_{A}^{2}}+1=0$

$\Delta =\frac{V_{0}^{4}}{gx_{A}^{2}}-\frac{2V_{3}^{2}y_{A}}{gx_{A}^{2}}-1,l^{\prime }\acute{e}quation$ admet une solution si $\Delta \geq 0\Longrightarrow y_{A}\leq \frac{V_{0}^{2}}{gx_{A}^{2}}-\frac{gx_{A}^{2}}{2V_{0}^{2}}$

le domaine est limit\'{e} par la parabole:

$y_{A}=-\frac{gx_{A}}{2V_{\text{0}}^{2}}+\frac{V_{0}^{2}}{2g}$

$si$ $x_{A}=0\Longrightarrow y_{A}=\frac{V_{0}^{2}}{2g}$ $si$ $y_{A}=\frac{V_{0}^{2}}{2g}si$ $y_{A}=0\Longrightarrow x_{A}=\frac{V_{0}^{2}}{g}$

(image)

norme de la vitesse en $A_{2}$ : Théoréme de l'énergie cinétique
:

2.2. Seul le point $A_{2}$ vérifie l'inéquation : $A_{2}$ est atteint et non $A_{1}$

Angle de tir : En remplaçant les coordonnées de $A2$ dans l'équation du $2^{nd}$ degré en tan a on a :

Cette équation admet 2 solutions :

$\tan ^{2}\alpha -4\tan{\alpha }+3=0$

$\tan {\alpha _{1}}=1$ et $\tan {\alpha _{2}}=3.$

$\alpha _{1}=45$ ° et $\alpha _{2}=71,5$ °

$\frac{1}{2}mV_{A_{2}}^{2}-\frac{1}{2}mV_{0}^{2}=w_{0\rightarrow A}\left(P\right) =-mgy_{A_{2}}$

$\Longrightarrow V_{A_{2}}=\sqrt{V_{0}^{2}-2gy_{A_{2}}}$

$AN : V_{A_{2}}=141m/s$

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