Partie A
1. Résolution l’équation différentielle y^\prime + y = 0.
- On peut énoncer directement le résultat car cela a été fait en cours : la solution générale de l’équation différentielle est appartenant à .
- On peut dire que l’on a une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants dont l’équation caractéristique est r + 1 = 0. La solution de cette équation caractéristique est r0 = -1. Par conséquent la solution générale de l’équation différentielle est y = ker0x, k appartenant à .
- On peut faire un calcul direct. La fonction nulle est solution de l’équation différentielle.
Une solution qui ne s’annule pas en un point donné, ne s’annulera pas dans un intervalle ouvert contenant ce point. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle gardera un signe constant dans cet intervalle.
Dans cet intervalle, l’équation différentielle est alors équivalente à
soit ln |y| = -x + c, c constante réelle. On a donc puis avec k = ou selon le signe de y.
Finalement, la solution générale de l’équation différentielle est appartenant à .
2. a. g, produit des deux applications dérivables sur est aussi dérivable sur
; c’est à dire . Alors
b. On peut remarquer que est la dérivée de .
Sinon, on peut faire un calcul direct. On a pour tout réel x > 0 :
Une intégration par parties donne :
Par conséquent,
et l’ensemble des primitives de la fonction
3. D’après la question précédente, pour qu’une application vérifie (1) il faut et il suffit que l’application g soit une primitive de h.
g est donc de la forme , autrement dit
L’ensemble des applications dérivables de dans vérifiant (1) est l’ensemble des applications où a désigne une constante réelle.
Partie B (5.25 points)
Soit f l’application de dans définie par : .
1. Remarquons d’abord que f est une solution de l’équation différentielle (1) avec a = e
a. f est dérivable sur et . La dérivée est strictement négative ; f est donc strictement décroissante. et . Voici le graphe de f.
f est continue et strictement décroissante et comme , l’équation f(x) = 0 admet une solution unique c dans
est , donc .
b. Pour tout
donc
c.
Si on pose u(t) = t, une intégration par parties donne :
Finalement .
De on tire
2. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
a. Pour tout entier k tel que et pour tout réel t tel que
on a .
Cela vient simplement du fait que f est strictement décroissante.
b. En intégrant la relation précédente dans l’intervalle
dont la longueur est
on obtient :
Ensuite on somme de k = 1 à k = n - 1 :
Dans le premier membre de l’inégalité, on change la numérotation (on remplace k + 1 par k), dans le second membre, on utilise la relation de Chasles
C’est à dire, en posant :
Ce qui permet d’encadrer :
3. a. On déduit des questions préecédentes que et .
Alors l’encadrement de et le théorème des gendarmes entraînent que la suite est convergente et de limite e.
b. Posons
est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raison .
Donc
et
Ensuite
et
c. On a . Autrement dit
On sait que . Par conséquent, en prenant on a et
La suite , somme de deux suites convergentes de limites respectives e - 1 et -e, est convergente et de limite e - 1 - e = -1 :
On a autrement dit . La suite est donc convergente et de limite
Partie C
1. a. La fonction f^\prime est dérivable sur est strictement
positive ; f^\prime est donc strictement croissante sur
+ et donc aussi sur [1, 2]. f^\prime(1) = -2 et f^\prime(2)=\frac{1}{e}-\frac{1}{2}.
La fonction P est dérivable sur [1, 2] et .
Puisque f^\prime est strictement croissante, f^\prime(1)-f^\prime(x) est < 0 ; comme f^\prime(1) = -2 est aussi < 0, la dérivée P^\prime est donc strictement positive ; P est alors strictement croissante sur [1, 2]. P(1) = et
P(c) = c. Voici le tableau de variation de P dans [1, c].
Ainsi, P réalise une bijection de [1, c] sur l’ intervalle J = [1/2, c] contenu dans [1, c].
Montrons alors par récurrence que la suite est bien définie et est contenue dans l’intervalle
[1, c].
existe et appartient à [1, c]. Supposons que pour un entier n donné, existe et appartient à [1, c]. Alors existe aussi et appartient à .
2. a. La fonction P^\prime est d´erivable sur
est donc strictement croissante.
Alors, pour tout , on a
b. En appliquant le théorème des accroissements finis à P dans l’intervalle , on peut affirmer l’existence d’un élèment dans tel que c’est dire .
Ce qui entraîne .
Cette relation entraîne ensuite . Comme le dernier membre a
pour limite 0 quand n tend vers , par le théorème des gendarmes, le membre a aussi pour limite 0. Autrement dit
c. Pour que soit une valeur approchée de c à il suffit de choisir n tel que
.
Comme , il suffit que c’est à dire ou encore . On peut donc prendre n = E(r)+1 avec c’est à dire n = 9.
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