Partie A
1. Un réel appartient à l'ensemble
de
ssi
et
; donc
Un réel non nul de
est contenu dans un intervalle
ne contenant pas
Dans un tel intervalle, la fonction est le produit des fonctions continues
; la fonction
est donc continue sur
et en particulier au point
Pour étudier la continuité de au point
, on peut écrire :
la fonction est donc continue sur
2.a. Pour tout élément de
et tout
on a :
Pour tout élément de
et tout
on a :
b. On a par réduction au même dénominateur :
On en déduit pour tout dans
et par intégration :
i.e
enfin en divisant par s'il est non nul :
c. On déduit des questions précédentes que le taux d'accroissement de
en
s'écrit :
La deuxième relation de la question s'écrit aussi
:
.
et on en déduit en divisant par :
.
Puisque la fonction fonction a pour limite
quand
tend vers
, le théorème des gendarmes permet de dire que
.
Par conséquent,
,
est dérivable au point
et
La tangente à
au point d'abscisse
a pour équation
i.e
;
et on a pour tout non nul de
:
. Donc la courbe
est au dessus de sa tangente
.
d. Un réel non nul de
est contenu dans un intervalle
ne contenant pas
Dans un tel intervalle, la fonction est le produit des fonctions dérivables
; la fonction
est donc dérivable sur
et en particulier au point
Comme on sait déjà que est dérivable au point
, on peut conclure que
est dérivable sur
3. a. La fonction est dérivable sur
et
Voici le tableau de variations de .
On constate d'après le tableau de variations que la fonction est positive dans
.
b. La fonction est dérivable sur
et
est donc
car elle a le même signe que
pour
La fonction est alors strictement décroissante dans
Voici le tableau de variations de .
4. Comme la droite d'équation
est une asymptote de
.
La fonction est décroissante et de limite
quand
tend vers
, par conséquent, elle est strictement positive (Voir aussi son tableau de variation); la courbe
est donc au dessus de l'axe des abscisses.
5. Voici la courbe
Partie B
1. La fonction étant décroissante dans
on a pour tout
et
tels que
et tout
dans l'intervalle
ce qui entraine par intégration :
i.e
En appliquant cette relation aux réels entier compris entre
et
on obtient :
puis par sommation :
et la relation de Chasles entraine
soit
finalement
L'aire demandée est donc comprise entre et
Le logiciel Texgraph donne
2. a. Pour tout strictement positif on a :
b. Soit un réel strictement positif. En intégrant la relation précédente on obtient :
i.e
Or quand tend vers
a pour limite
donc
3.a. La fonction est strictement croissante dans
car sa dérivée
est strictement positive dans cet intervalle; donc
avec
et
.
Par conséquent, on a bien .
b. Si appartient à
, alors
et multipliant par le réel strictement négatif
on obtient
Soit un élément de
.
La relation s'écrit
et en l'intégrant on obtient :
La fonction est donc bien majorée (par exemple par
.
c. Pour tout entier naturel non nul on a :
est positive car est positive dans
; donc la suite
est croissante.
La suite est donc majoré (par exemple par
); et comme elle est croissante, elle converge.
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