Partie A
1. a. notons l'application de
dans
définie analytiquement par:
et l'application de
dans
définie analytiquement par:
est la symétrie orthogonale d'axe la deuxième bissectrice,
la translation de vecteur
et
(Attention!! n'est pas égal à
.)
b. Soit un point de
(c'est à dire tel que
et
) et
son image par
Il faut montrer que {
.}
appartient à
.
En effet est égal à
, il ne peut donc être nul puisque
.
De plus
2. a. Cherchons un point tel que pour toute valeur du paramètre
,
appartient à
et
.
On doit avoir :
Soit
Pour cela, il faut et il suffit que
c'est à dire
ou
En résumé :
Les courbes passent toutes par les points
et
b. Cherchons un point (dépendant éventuellement de
) fixé par
, c'est à dire tel que
et
.
On doit avoir: c'est à dire
. Donc
ou
puisque
est non nul.
Les points fixes de sont
et
3. a. est une fraction rationnelle,
est l'ensemble des réels qui n'annulent pas son dénominateur:
La fonction est définie et continue dans
et
Lorsque tend vers
, le dénominateur de
tend vers
et son numérateur vers le réel non nul
.
Pour calculer , il faut connaître le signe de
quand
tend vers
.
Le signe de est celui du trinôme
dont les racines sont
et
Ce trinôme a le signe de
à "l'extérieur des racines" et le signe de
à "l'intérieur des racines"
Le réel a même signe que le trinôme
; donc il est
si
appartient à
et
sinon; ce qui motive la discussion suivante.
Si est
alors
est
et
a le signe de
(c'est à dire est
) dans
et le signe de
dans
Par conséquent : et
Si alors
est
et
a le signe de
est
) dans
et le signe de
dans
Par conséquent : et
Si est
alors
est
et
a le signe de
(c'est à dire est
) dans
et le signe de
dans
Par conséquent : et
.
En résumé :
La fonction est dérivable dans
et
La dérivée a donc le signe de . Plus précisément:
Si c'est à dire
, alors
.
Si c'est à dire
, alors
.
Voici les tableaux de variation de selon
.
Et voici les courbes demandées
4. a. La fonction est strictement monotone par ce que sa dérivée est le réel non nul
. Par conséquent, pour tout
appartenant à
,
est compris entre
et
, réels strictement positifs.
est donc strictement positif dans
en particulier
est non nul dans
.
Ainsi la fonction qu'il faut intégrer est définie et continue dans
; de ce fait l'intégrale
est bien définie si
est non nul.
est défini par l'énoncé et
b. Le changement de variable donne
Lorsque tend vers
,
tend vers
et
tend vers
car
.
Lorsque tend vers
,
tend vers
et
tend vers
car
et
.
c. Si , alors
est inclus dans
, intervalle dans lequel la fonction
est continue et strictement croissante.
Donc si , alors
Si , alors
est inclus dans
, intervalle dans lequel la fonction
est continue et strictement croissante.
Donc si , alors
d. On a pour tout :
e. Maintenant on peut écrire:
et le théorème des gendarmes donne :
Autrement dit
Par conséquent est continue en
.
Partie B
1. a Pour prouver que est un r.o.n, il suffit de vérifier que
et
.
b. Soit un point de coordonnées
dans le repère
et de coordonnées
dans le repère
.
De la relation on tire:
Par conséquent
c. Soit un point de coordonnées
dans le repère
et de coordonnées
dans le repère
.
La courbe a donc pour équation dans le repère
(1.3)
d. Puisque le paramètre est différent de
, le réel
est non nul; nous reconnaissons donc l'équation réduite d'une hyperbole.
Plus précisément :
Si est
c'est à dire si
, alors
Si est
c'est à dire si
(et
, alors
En résumé en posant :
(1.4)
Si a>1,alors
Les sommets et
ont pour coordonnées respectives
dans le repère
Si a<1,alors
Les sommets et}
ont pour coordonnées respectives
et
dans le repère
2. Les axes de l'hyperbole sont les axes de coordonnées du repère
Elles ont pour équations respectives dans le repère (axe des ordonnées) et
(axe des abscisses).
On obtient à partir des relations ??, en faisant la somme puis la différence:
(1.5)
Donc dans le repère l'axe des ordonnées de
a pour équation:
et l'axe des abscisses de a pour équation:
.
L'axe des abscisses du repère est donc la droite
Pour que les sommets soient sur la droite il faut et il suffit que cette droite soit
l'axe focal c'est à dire que l'équation réduite de soit de la forme
On en déduit en utilisant que pour que les sommets soient sur il faut et il suffit que
soit
.
3. Pour calculer plaçons-nous dans le repère
.
Dans ce repère, les coordonnées de sont
et ceux des sommets
et
sont les couples
et
; donc
a pour coordonnées
et
:
Pour calculer plaçons-nous dans le repère
.
Dans ce repère, les coordonnées de sont
et ceux de
sont le couple
; donc
a pour coordonnées
et
Les points et
étant les centres des hyperboles
et
sont sur les axes des ces hyperboles en particulier ils sont tous les deux sur l'axe
.
Les points et
étant respectivement un sommet et le centres de l'hyperbole
sont sur l'axe focal de
.
Comme les axes de sont perpendiculaires en
, le triangle
est rectangle en
. On en déduit en appliquant le théorème de pythagore que:
Par conséquent et
appartiennent au cercle de centre
et de rayon
4. a. Déjà fait, voici le tableau de variation de .
D'après le tableau de variation, l'image de l'intervalle est lui-même.
b. Raisonnons par récurrence pour montrer la propriété:
"
est défini et
appartient à
"
Initialisation : " est défini et
appartient à
" (données de l'énoncé).
est donc vrai.
Héritage : Supposons la propriété vérifiée jusqu'à un rang donnée; en particulier que
soit vraie, c'est à dire "
est défini et
appartient à
".
Alors puisque ,
appartient à
. La propriété
est vérifiée.
Les points fixes de étant
et
:
Si , alors pour tout entier
; la suite
est constante.
Si , alors pour tout entier
; la suite
est constante.
5. a. Si est différent de
et
, il en est de même de
pour tout
; et alors
.
Pour tout entier naturel on a:
est donc strictement négatif parce que
et
.
La suite est strictement décroissante.
b. La suite étant bornée par
et
et monotone, converge} vers un réel
appartenant à
.
A partir de la relation on obtient par passage la limite:
est donc un point fixe de
différent de
:
.
La suite converge vers
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