Partie A
1. a.
La fonction est définie, continue et dérivable sur et
La dérivée s’annule au point 1 et est > 0 si et seulement si x > 1. Voici le tableau de variations de
On y voit nettement que la fonction est positive ; donc
Soit x un réel > 0 et k un entier naturel non nul. Dans la relation précédente, en remplaçant x par , on a puis par intégration :
b. En sommant les relations précédentes de k = 1 à k = n on a :
puis
ensuite, avec la relation de Chasles :
ou
c. Comme est une primitive de (résultat que l’on obtient par intégration par parties),
c'est à dire
2. a.
La fonction g est définie, continue et dérivable sur [0, 1[ et
Voici le tableau de variations de g.
b.
- Pour tout x dans ]0, 1[, la fonction h est continue sur [0, x], dérivable sur ]0, x[ et pour tout . D’après le théorème des accroissements finis, il existe un réel c dans l’intervalle ]0, x[ tel que c’est à dire ou f(x) = g(c).
Mais puisque la fonction g est croissante ; donc .
- Si on veut utiliser la valeur moyenne de g on peut dire : La fonction g étant continue,, valeur moyenne de g sur [0, x] est une valeur de g ; il existe donc c dans [0, x] tel que .
La fonction g étant continue, sa limite en 0 est g(0) = 1. Alors les inégalités et le théorème des gendarmes entraînent que f aussi a pour limite 1 = f(0) quand x tend vers 0 et donc oui ! f est continue en 0.
c. Pour montrer qu’il existe deux réels a et b tels que , il suffit de réduire au même dénominateur et d’identifier les numérateurs. On trouve puis
On en déduit par intégration que
3. a. Un calcul direct montre que
Puisque pour tout x de [0, 1[, f(x) est , cette dernière relation entraine que est ; la suite ) est donc décroissante.
b.
c. La suite étant décroissante et minorée est convergente.
Partie B
1. a.
est puisque intégrale d’une fonction continue
est = puisque intégrale d’une fonction . La suite est donc décroissante.
b. Pour tout entier naturel n, en posant et , on a et on peut prendre v = - cos t ; une intégration par parties donne alors :
Ce qui entraîne bien
c. On a pour tout entier naturel n :
Puisque a pour limite 1 quand n tend vers , le théorème des gendarmes appliqué à la relation permet d’affirmer que
d. = ; la suite est donc constante. Cette constante est égale à
e. .
Comme la suite est constante égale à , la relation précédente s’écrit aussi :
.
2. Pour tout entier naturel n, on pose
a. n avec . et puisque la suite a pour limite , on peut écrire d’après les indications de l’énoncé :
b. Pour tout entier naturel n, appelons la propriété :
, est donc vraie.
Supposons vraie pour un entier donné n.
Alors, avec la relation (E) on peut écrire :
est donc vraie.
3. a. Pour tout entier n on a : .
b. Pour tout entier n on a :
La constante A demandée vaut donc
On en déduit que a pour limite .
Mais si l est la limite de alors a aussi pour limite .
Par conséquent c’est à dire et a pour limite
Partie A
1. a.
La fonction est définie et continue sur .
Elle est dérivable et
Voici son tableau de variations.
On y voit clairement que le maximum de est -1 donc
Remarquer qu’on n’a pas besoin des limites de aux bornes de son ensemble de définition.
b. L’application est dérivable sur . La dérivé étant strictement positive, la fonction fn et strictement croissante.
.
Par conséquent, réalise une bijection de sur , et l’équation ( c’est
à dire l’équation ) admet une solution unique ( dépendant naturellement n).
d’après le a.
Ainsi , donc appartient à ]ln(n/2), ln\,n[
c. La relation entraînent .
De on tire :
- En divisant par n,
et comme les suites minorante et majorante ont 0 comme limite commune, le théorème des gendarmes permet d’écrire .
- En divisant par et comme les suites minorante et majorante (suite constante) ont 1 comme limite commune, le théorème des gendarmes permet d’écrire .
d. Pour n = 1, on , donc .
2. a. On a, en suivant la remarque
Le premier facteur a pour limite 1 et le deuxième facteur, compte tenu du fait que a aussi pour limite 1. Donc
Comme a pour limite 1, on a bien
b. On a et en suivant la remarque
.
la relation et la stricte croissance de l’application entraînent ; la suite est donc strictement croissante.
c.
Puisque l’application fn est croissante, on a pour tout t appartenant à ,
c’est à dire puis par intégration
.
comme les suites minorante (suite constante égale à 0) et majorante ont 0 comme limite
commune, le théorème des gendarmes permet d’écrire
3. a. La fonction est définie, continue et dérivable sur son ensemble de définition . Sa dérivé est l’application , elle vaut 1 au point 0. Donc
. En posant
,
on bien pour tout h appartenant à D.
b. On sait d’après le résultat de la question 1 que a pour limite 1, donc a pour limite 0.
On déduit de et en suivant la remarque :
Puisque la suite a pour limite 0, on peut écrire, d’après la question précédente : étant une suite ayant pour limite 0.
Partie B
1. a.
On a d’après l’indication de la première partie, c'est à dire . est un point fixe de g.
Or g est dérivable dans
. La dérivée de g étant < 0, g est strictement décroissante ; donc est le seul point fixe de g.
.
.
Puisque sont de signe contraire, appartient à ]a, b[
b. On a déjà montré que g est dérivable sur I et
Alors .
L’application est dérivable sur I et sa dérivée
est > 0 sur I. est donc croissante. Par conséquent
c'est à dire
Voici le théorème appelé Inégalité des accroissements finis qui permet d’en déduire que
.
Soit une application définie sur un intervalle J = [u, v] à valeurs dans .
On suppose que est continue sur J, dérivable sur ]u, v[ et il existe un réel vérifiant
Alors
.
c. g étant continue et décroissante, g([a, b]) = [g(b), g(a)] = [a, g(a)].
Pour que , il suffit que c’est à dire , ce que montre un calcul direct (on trouve
2. a. Pour répondre à la question, puisque I est contenu dans l’ensemble de définition de g,
il suffit de démontrer par récurrence la propriété .
existe et est donc vraie.
Si est vraie pour un entier donné n alors an existe et
est donc vraie.
b. Démontrons par récurrence la propriété .
On a est donc vraie.
Si est vraie pour un entier donné n, on a :
est donc vraie.
est < 1 donc et la propriété et le théorème des
gendarmes entrainent .
La suite est donc convergente et de limite u2.
c. Pour que an soit une valeur approchée de , il suffit que soit
c’est à dire . On peut donc prendre
3. Voir la figure 2.
Partie A
1. Un réel appartient à l'ensemble de ssi et ; donc
Un réel non nul de est contenu dans un intervalle ne contenant pas
Dans un tel intervalle, la fonction est le produit des fonctions continues ; la fonction est donc continue sur et en particulier au point
Pour étudier la continuité de au point , on peut écrire :
la fonction est donc continue sur
2.a. Pour tout élément de et tout on a :
Pour tout élément de et tout on a :
b. On a par réduction au même dénominateur :
On en déduit pour tout dans et par intégration :
i.e
enfin en divisant par s'il est non nul :
c. On déduit des questions précédentes que le taux d'accroissement de en s'écrit :
La deuxième relation de la question s'écrit aussi
: .
et on en déduit en divisant par : .
Puisque la fonction fonction a pour limite quand tend vers , le théorème des gendarmes permet de dire que .
Par conséquent,
, est dérivable au point et
La tangente à au point d'abscisse a pour équation
i.e ;
et on a pour tout non nul de : . Donc la courbe est au dessus de sa tangente .
d. Un réel non nul de est contenu dans un intervalle ne contenant pas
Dans un tel intervalle, la fonction est le produit des fonctions dérivables ; la fonction est donc dérivable sur et en particulier au point
Comme on sait déjà que est dérivable au point , on peut conclure que est dérivable sur
3. a. La fonction est dérivable sur et
Voici le tableau de variations de .
On constate d'après le tableau de variations que la fonction est positive dans .
b. La fonction est dérivable sur et
est donc car elle a le même signe que pour
La fonction est alors strictement décroissante dans
Voici le tableau de variations de .
4. Comme la droite d'équation est une asymptote de .
La fonction est décroissante et de limite quand tend vers , par conséquent, elle est strictement positive (Voir aussi son tableau de variation); la courbe est donc au dessus de l'axe des abscisses.
5. Voici la courbe
Partie B
1. La fonction étant décroissante dans on a pour tout et tels que et tout dans l'intervalle ce qui entraine par intégration : i.e
En appliquant cette relation aux réels entier compris entre et on obtient :
puis par sommation :
et la relation de Chasles entraine
soit
finalement
L'aire demandée est donc comprise entre et
Le logiciel Texgraph donne
2. a. Pour tout strictement positif on a :
b. Soit un réel strictement positif. En intégrant la relation précédente on obtient :
i.e
Or quand tend vers a pour limite donc
3.a. La fonction est strictement croissante dans car sa dérivée est strictement positive dans cet intervalle; donc avec et .
Par conséquent, on a bien .
b. Si appartient à , alors et multipliant par le réel strictement négatif on obtient
Soit un élément de .
La relation s'écrit
et en l'intégrant on obtient :
La fonction est donc bien majorée (par exemple par .
c. Pour tout entier naturel non nul on a :
est positive car est positive dans ; donc la suite est croissante.
La suite est donc majoré (par exemple par ); et comme elle est croissante, elle converge.
Partie A
1. Résolution l’équation différentielle y^\prime + y = 0.
- On peut énoncer directement le résultat car cela a été fait en cours : la solution générale de l’équation différentielle est appartenant à .
- On peut dire que l’on a une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants dont l’équation caractéristique est r + 1 = 0. La solution de cette équation caractéristique est r0 = -1. Par conséquent la solution générale de l’équation différentielle est y = ker0x, k appartenant à .
- On peut faire un calcul direct. La fonction nulle est solution de l’équation différentielle.
Une solution qui ne s’annule pas en un point donné, ne s’annulera pas dans un intervalle ouvert contenant ce point. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle gardera un signe constant dans cet intervalle.
Dans cet intervalle, l’équation différentielle est alors équivalente à
soit ln |y| = -x + c, c constante réelle. On a donc puis avec k = ou selon le signe de y.
Finalement, la solution générale de l’équation différentielle est appartenant à .
2. a. g, produit des deux applications dérivables sur est aussi dérivable sur
; c’est à dire . Alors
b. On peut remarquer que est la dérivée de .
Sinon, on peut faire un calcul direct. On a pour tout réel x > 0 :
Une intégration par parties donne :
Par conséquent,
et l’ensemble des primitives de la fonction
3. D’après la question précédente, pour qu’une application vérifie (1) il faut et il suffit que l’application g soit une primitive de h.
g est donc de la forme , autrement dit
L’ensemble des applications dérivables de dans vérifiant (1) est l’ensemble des applications où a désigne une constante réelle.
Partie B (5.25 points)
Soit f l’application de dans définie par : .
1. Remarquons d’abord que f est une solution de l’équation différentielle (1) avec a = e
a. f est dérivable sur et . La dérivée est strictement négative ; f est donc strictement décroissante. et . Voici le graphe de f.
f est continue et strictement décroissante et comme , l’équation f(x) = 0 admet une solution unique c dans
est , donc .
b. Pour tout
donc
c.
Si on pose u(t) = t, une intégration par parties donne :
Finalement .
De on tire
2. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
a. Pour tout entier k tel que et pour tout réel t tel que
on a .
Cela vient simplement du fait que f est strictement décroissante.
b. En intégrant la relation précédente dans l’intervalle
dont la longueur est
on obtient :
Ensuite on somme de k = 1 à k = n - 1 :
Dans le premier membre de l’inégalité, on change la numérotation (on remplace k + 1 par k), dans le second membre, on utilise la relation de Chasles
C’est à dire, en posant :
Ce qui permet d’encadrer :
3. a. On déduit des questions préecédentes que et .
Alors l’encadrement de et le théorème des gendarmes entraînent que la suite est convergente et de limite e.
b. Posons
est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raison .
Donc
et
Ensuite
et
c. On a . Autrement dit
On sait que . Par conséquent, en prenant on a et
La suite , somme de deux suites convergentes de limites respectives e - 1 et -e, est convergente et de limite e - 1 - e = -1 :
On a autrement dit . La suite est donc convergente et de limite
Partie C
1. a. La fonction f^\prime est dérivable sur est strictement
positive ; f^\prime est donc strictement croissante sur
+ et donc aussi sur [1, 2]. f^\prime(1) = -2 et f^\prime(2)=\frac{1}{e}-\frac{1}{2}.
La fonction P est dérivable sur [1, 2] et .
Puisque f^\prime est strictement croissante, f^\prime(1)-f^\prime(x) est < 0 ; comme f^\prime(1) = -2 est aussi < 0, la dérivée P^\prime est donc strictement positive ; P est alors strictement croissante sur [1, 2]. P(1) = et
P(c) = c. Voici le tableau de variation de P dans [1, c].
Ainsi, P réalise une bijection de [1, c] sur l’ intervalle J = [1/2, c] contenu dans [1, c].
Montrons alors par récurrence que la suite est bien définie et est contenue dans l’intervalle
[1, c].
existe et appartient à [1, c]. Supposons que pour un entier n donné, existe et appartient à [1, c]. Alors existe aussi et appartient à .
2. a. La fonction P^\prime est d´erivable sur
est donc strictement croissante.
Alors, pour tout , on a
b. En appliquant le théorème des accroissements finis à P dans l’intervalle , on peut affirmer l’existence d’un élèment dans tel que c’est dire .
Ce qui entraîne .
Cette relation entraîne ensuite . Comme le dernier membre a
pour limite 0 quand n tend vers , par le théorème des gendarmes, le membre a aussi pour limite 0. Autrement dit
c. Pour que soit une valeur approchée de c à il suffit de choisir n tel que
.
Comme , il suffit que c’est à dire ou encore . On peut donc prendre n = E(r)+1 avec c’est à dire n = 9.
Partie A
1. a. Dans 0.1, en dérivant la première équation et en remplaçant par sa valeur tirée de la deuxième équation on obtient :
. Cette dernière équation est équivalente à : . La fonction est donc solution de 0.2.
De même, dans 0.1, en dérivant la deuxième équation et en remplaçant par sa valeur tirée de de la première équation on obtient :
. Cette dernière équation est équivalente à : . La fonction est donc solution de 0.2, équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficient constants.
b. l'équation caractéristique de 0.2 est .
Si l'équation caractéristique a pour solutions et . La solution générale de est donc , et constantes arbitaires.
La fonction étant solution de \ref{equaDiff}est de la forme précédente.
La relation donne alors .
La solution générale de 0.1 est donc
Si l'équation caractéristique a pour solutions et . La solution générale de est donc , et constantes arbitaires.
La fonction étant solution de 0.2 est de la forme précédente.
La relation donne alors .
La solution générale de 0.1 est donc
Si l'équation caractéristique a pour solution . La solution générale de est donc , et constantes arbitaires.
La fonction étant solution de 0.2 est de la forme précédente.
La relation donne alors .
La solution générale de 0.1 est donc
2. Si , il existe deux constantes telle
La relation et se traduit par
En faisant la somme et la différence, on trouve : .
Finalement
3. a) Un point de coordonnée appartient à si et seulement si :
En élevant qu carré et en faisant la différence, on obtient
Par conséquent est bien contenue dans la courbe d'équation
b) Pour construire il suffit de savoir que est la partie de la conique dont les points ont des coordonnées positives.
est contenue dans car pour tout réel et sont positives.
Réciproquement, soit un point de c'est à dire un point tel que :
et cherchons tel que
La relation montre que est
En posant on doit donc chercher un tel que c'est à dire
Les racines de cette dernière équation sont et
Les racines sont de même signe car leur produit est . La racine est ; en effet . Donc la racine est .
On prendra donc c'est à dire . Donc
Finalement
Partie B
1. a Un réel appartient à l'ensemble de définition de ssi c'est à dire .
Donc
.
Quand nous sommes en présence d'une indétermination de la forme . Pour lever cette indétermination, on peut écrire :
La fonction est dérivable sur et
Si , la dérivée est .
Si , la dérivée est car .
Lorsque la dérivée est une fonction continue, il existe une méthode peu coûteuse pour déterminer son signe. garde un signe constant dans chaque composante connexe (=intervalle) de . Pour connaître ce signe, on calcule alors la valeur de en un point particulier de la composante connexe.
On en déduit que la dérivée ne s'annule pas dans
Au point , le taux d'accroissement est pour
Il a pour limite quand tend vers . La fonction n'est donc pas dérivable à droite au point et on peut ajouter qu'au point de dont l'abscisse est il y a une demi-tangente verticale.
Raisonnement analogue au point ; en ce point le taux d'accroissement est pour
Il a pour limite quand tend vers . La fonction n'est donc pas dérivable à gauche au point et on peut ajouter qu'au point de dont l'abscisse est il y a une demi-tangente verticale.
tableau de variation en fin de document
Voir le tableau de variation de en fin de document.
b) est continue et strictement décroissante dans l'intervalle . Sa restriction à cet intervalle est donc une bijection de sur
c) Soit et cherchons tel que
L'application réciproque de est donc définie par
Remaraque 1
1. Une fois que l'on sait que est bijective et puisque que la réciproque est donnée par l'énoncé, il suffit de vérifier que et
L'étude des variations de montre bien que .
Or ; donc
2. Si on n'a pas montré que est bijective, il est nécessaire de vérifier que
et
et et
On a pour tout
Les courbes et étant symétriques par rapport à la première bissectrice, représente aussi l'aire du domaine plan délimité par les droites l'axe des ordonnées et la courbe .
Soit l'aire du rectangle et l'aire du rectangle .
Alors :
Finalement
.
b) Ici donc est tel que c'est à dire .
c) L'aire demandée est en unités d'aire.
Et puisque , unités d'aire
Partie C
1. a) La fonction est définie et continue sur et .
et
Voir le tableau de variation de en fin de document.
Posons . Le tableau de variation de montre que
Démontrons par récurrence que
La propriété est vrai au rang par ce que .
Supposons que la propriété soit vraie jusqu'à un rang , en particulier c'est à dire Alors .
Par conséquent la propriété est vraie pour tout .
La fonction étant strictement croissante dans , son taux d'accroissement est strictement positif dans . Donc, puisque pour tout et appartiennent à , on a : est strictement positif c'est à dire .
b) Les réels et ayant même signe, la suite garde un signe constant. Cela signifie que la suite est monotone.
Le signe de est alors celui de .
La suite est strictement décroissante.
La suite étant décroissante et minorée par , a une limite supérieure à .
c) Puisque la fonction est continue dans (c'est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas dans ) la relation entraîne c'est à dire ou . Donc {.}
2. a) Soient un entier naturel non nul et appliquons le thérème des accroissements finis à dans l'intervalle : il existe un réel dans tel que c'est à dire
. Donc
En faisant le produit membre à membre de à entier supérieur à on obtient : c'est à dire après simplification soit
Puisque et {, le théorème des gendarmes permet de conclure que
b) La relation montre que pour que soit tel que soit inférieur à ,il suffit que c'est à dire ou .
Finalement on peut prendre On peut améliorer ce résultat en remarquant que et que dans ce intervalle, . En reprenant le même raisonnement avec cette nouvelle borne on trouve : })
3. a) Exprimons d'abord le rapport .
En prenant le logarithme on trouve .
La suite est donc géométrique de raison et de terme
b) Par conséquent .
Soit en posant
.
Tirons maintenant en fonction de :
Donc .
Puisque appartient à , la suite a pour limite quand tend vers . Donc
.
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