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corrigés

Sciences physiques S2

Physique

Oscillation électrique

Fonctions numériques

Corrigé Epreuve 2001 : Etude de fonctions et suites numeriques ( 09 pts)

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie I

1- Limites et variations de $g_{n}$

$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }g_{n}\left( x\right) =\underset{ x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^{n}}=0$

. $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }g_{n}\left( x\right) =-\infty$

. $g_{n}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1-n\ln x}{x^{n-1}}$

Dans $\left] 0,+\infty \right[$ \ \ $g_{n}^{\prime }\left( x\right) >0\Longleftrightarrow 1-n\ln x>0\Longleftrightarrow x<\sqrt[n]{e}$

2- Tracé de C1

Les asymptotes sont les droites d'équations $x=0$ et $y=0$

3-a)

$I_{1}\left( \lambda \right) =\int_{1}^{\lambda }\left( \frac{\ln t}{t} \right) dt=\left[ \frac{1}{2}\left( \ln t\right) {{}^2} \right] _{1}^{\lambda }$

donc $I\left( \lambda \right) -\frac{1}{2}\left( \ln \lambda \right) {{}^2}$

b) pour $n\simeq 2$

$I_{n}\left( \lambda \right) =\int_{1}^{\lambda }\left( \ln t.\frac{1}{t^{n}} \right) dt=\frac{1}{-n+1}\left[ \ln t\frac{1}{t^{n-1}}\right] _{1}^{\lambda }-\frac{1}{-n+1}\int_{1}^{\lambda }\left( \frac{1}{t}\frac{1}{t^{n-1}} \right) dt$

$=\frac{\ln \lambda }{\left( -n+1\right) \lambda ^{n-1}}-\frac{1}{\left( -n+1\right) }\left[ \lambda ^{n+1}-1\right]$

$A=\int_{2}^{\lambda }g_{2}\left( t\right) dt=-\left[ \ln t\frac{1}{t}\right] _{2}^{\lambda }-\frac{1}{\left( 1\right) {{}^2} }\left[ t^{-1}\right] _{2}^{\lambda }$

$=\frac{\ln \left( \lambda \right) }{2}-\frac{\ln \lambda }{\lambda }+\frac{1 }{2}-\frac{1}{\lambda }$

c) $\underset{\lambda \rightarrow +\infty }{\lim }I_{n}\left( \lambda \right) =\frac{1}{\left( 1-n\right) {{}^2} }$

Partie II

1- Dans $\left[ p,p+1\right]$ on a $g_{2}\left( p+1\right) \leq g_{2}\left( t\right) \leq g_{2}\left( p\right)$ car $g_{2}$ est décroissante

donc $\int_{p}^{p+1}g_{2}\left( p+1\right) dt\leq \int_{p}^{p+1}g_{2}\left( t\right) dt\leq \int_{p}^{p+1}g_{2}\left( p\right) dt$

Puisque $\left( p+1\right)$ et $g_{1}\left( p\right)$ sont constant on a :

$g_{2}\left( p+1\right) <\int_{p}^{p+1}g_{2}\left( t\right) dt\leq$ $\int_{p}^{p+1}$

2- a) Croissance de $\left( S_{k}\right) \geq 2$

Calculons $S_{k+1}-S_{k}=\underset{i=2}{\overset{k+1}{\sum }}\frac{\ln i}{i {{}^2} }-\overset{k}{\underset{i=2}{\sum }}\frac{\ln i}{i {{}^2} }$

$=\frac{\ln \left( K+1\right) }{\left( K+1\right) {{}^2} }\geq 0$

donc $\left( S_{k}\right) _{k\geq 2\text{ }}$ est croissante

b) On a par définition $S_{k}= \sum_{k}^{i=2}{g^2}$

or d'après le $(1)$ de la partie $II$ on a :

$g_{2}\left( 3\right) \leq \int_{2}^{3}g_{2}\left( t\right) dt\leq g_{2}\left( 2\right)$

$g_{2}\left( i+1\right) \leq \int_{i}^{i+1}g_{2}\left( t\right) dt\leq g_{2}\left( i\right)$

$g_{2}\left( K\right) \leq \int_{K-1}^{K}g_{2}\left( t\right) dt\leq g_{2}\left( K-1\right)$

En sommant membre à membre cette double inégalité on obtient :

$S_{k}-g_{2}\left( 2\right) \leq \int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt\leq S_{k}-g_{2}\left( K\right)$

c'est a dire $S_{k}-\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }\leq \int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt\leq S_{k}-\frac{\ln K}{K {{}^2} }$

On a donc $\int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt+\frac{\ln K}{K {{}^2} }\leq S_{k}\leq \int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt+\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }$

c) puisque $A=\int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt$ $=\frac{\ln 2}{2}$ $- \frac{\ln K}{K}+\frac{1}{2}-\frac{1}{\lambda }$ est fini.

on a $S_{k}<A+\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }$

d) $(S_{k})$ est croissante et majorée donc $(S_{k})$ est convergente.

$\underset{K\rightarrow +\infty }{\lim }A+\frac{\ln K}{K {{}^2} }\leq \underset{K\rightarrow +\infty }{\lim }S_{k}\leq$ $\underset{ K\rightarrow +\infty }{\lim }A+\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }$

$\frac{\ln 2}{2}+\frac{1}{2}\leq l\leq \frac{\ln 2}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }$

donc $\frac{\ln 2}{2}+\frac{1}{2}\leq l\leq \frac{1}{2}+\frac{3\ln 2}{4}$

Partie III

$\left\{ \begin{array}{c} x\left( t\right) =\frac{\ln t}{t} \\ y\left( t\right) =\frac{\ln t}{t {{}^2} } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{c} x^{\prime }\left( t\right) =\frac{1-\ln t}{t {{}^2} } \\ y^{\prime }\left( t\right) =\frac{1-2\ln t}{t^{3}} \end{array} \right.$

Les tangentes sont parallèles:

- l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left( \frac{1}{2 \sqrt{e}},\frac{1}{2e}\right)$

- l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left( \frac{1}{ e},\frac{1}{e^{4}}\right)$

Corrigé Epreuve 2005 : Etude de fonctions

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

PARTIE A

$(E):y\prime \prime +2ay\prime +a^{~2}y=0$

Soit l'équation associée à (E)

$r^{~2}+2ar+a^{~2}=0$

$\left( r+a\right) ^{~2}=0$ donc $r=-a$

les fonctions solutions $x\mapsto g(x)=\left( C_{~1}x+C_{~2}\right) e^{~-ax}$

$g(x)=\left( C_{~1}x+C_{~2}\right) e^{~-ax}$

$g^{\prime }(x)=C_{~1}e^{~-ax}-ag(x)$

$g(0)=0$ et $g\prime (0)=e\iff C_{~2}=0$ et $C_{~1}=e$

$g(x)=exe^{~-ax}$

$g(x)=xe^{~1-ax}$

PARTIE B

$f_{~a}(x)=xe^{~-ax+1}$

Evaluons $f_{~a}(-x)=-xe^{~ax+1}\qquad (1)$

Evaluons $-f_{~-a}(x)=-\left[ xe^{~-\left( a\right) x+1}\right]$

$-f_{~-a}(-x)=-xe^{~ax+1}\qquad (2)$

En confrontons (1) et (2) on obtient

$f_{~a}(-x)=-f_{~-a}(-x)$

En déduire une transformation permettant d'obtenir $(C_{~-a})$ à partir de $(C_{~a})$

$f_{~a}(x)=$ $-f_{~a}(x)$

$(C_{~-a})=S_{~0}(C_{~a})$

$(C_{~-a})$ est l'image de $(C_{~a})$ par la symétrie de centre
l'origine O du repère.

$f_{~a}(x)=$ $\frac{~1}{~a}f_{~1}(ax)\qquad$ facile à établir

posons $ax=t$ et $y=f_{~a}(x)$ on obtient $x=\frac{~1}{~a}t$ et $y=\frac{~1}{ ~a}f_{~1}(t)$

donc $(C_{~a})$ est l'image de $(C_{~1})$ par l'homothétie centrée
en l'origine du repère et de rapport $\frac{~1}{~a}.$

$f_{~0}(x)=xe$

$f_{~0}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

$f_{~1}(x)=xe^{~-x+1}\qquad f_{~1}^{\prime }(x)=e^{~-x+1}(1-x)$

tableau de variation de $f_{1}$

a) Les points fixes sont les points communs aux courbes $(C_{~a})$
lorsque $a$ décrit $\mathbb{R}$

$(C_{~a+1}):f_{a+1}(x)=xe^{~-\left( a+1\right) x+1}$

$f_{a+1}(x)=xe^{~-ax+1}e^{~-x}$

posons $f_{a+1}(x)-f_{a}(x)=0$

$xe^{~-ax+1}e^{~-x}-xe^{~-ax+1}=0$

$xe^{~-ax+1}\left( e^{~-x}-1\right) =0$

$x=0$ $f_{a}(0)=0$

le point fixe commun à toutes les courbes $(C_{~a})$ est l'origine O du
repère.

b) $E=\left\{ M(x,y)/xy>0\right\}$

$y=xe^{~-ax+1}$

$\frac{~y}{~x}=e^{~-ax+1}$

$e^{~-1}\frac{~y}{~x}=e^{~-ax}$

$^{~}-ax=\ln \frac{~y}{~xe}$

$ax=\ln \frac{xe}{y}$

$a=\frac{~1}{~x}\ln \frac{xe}{y}$

pour tout couple $(x,y)$ de $E$ il existe un unique réel $a$

5)
$(C_{-1})$ est l'image de $(C_{1})$ par la symétrie centrale de centre $O$

$(C_{\frac{1}{2}})$ est l'image de $(C_{1})$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport 2.

PARTIE C

$I_{~a}=\dint\nolimits_{0}^{1}f_{~a}(x)dx$

La fonction $x\longmapsto f_{~a}(x)$ est continue sur $\left[ 0,1 \right]$

donc $I_{~a}u_{~a}$ = $\dint\nolimits_{0}^{1}f_{~a}(x)dx\times u_{~a}$ est
l'aire de la région du plan délimitée par les droites d'équation $x=0$ , $x=1$ , l'axe des abscisses et $(C_{~a})$

$I_{~a}=\dint\nolimits_{0}^{1}xe^{~-ax+1}dx$

par intégration par partie

$u=x$ $v\prime =e^{~-ax+1}$

$u\prime =1$ $v=\frac{~1}{~a}e^{~-ax+1}$

$I_{~a}=\left[ \frac{~-x}{~a}e^{~-ax+1}\right] _{0}^{1}+\frac{~1}{~a} \dint\nolimits_{0}^{1}e^{~-ax+1}dx$

$I_{~a}=\left[ \frac{~-x}{~a}e^{~-ax+1}-\frac{~1}{~a^{~2}}e^{~-ax+1}\right] _{0}^{1}=\frac{-~1}{~a}e^{~-a+1}-\frac{~1}{~a^{~2}}e^{~-a+1}+\frac{e}{~a^{~2} }$

$I_{~a}=\frac{e}{~a^{~2}}\left[ 1-(a+1)e^{~-a}\right]$

$f_{~a}(x)=xe^{~-ax+1}$

$0\leq x\leq 1$

$-a\leq -ax\leq 0$

$1-a\leq -ax+1\leq 1$

$e^{~1-a}\leq e^{~-ax+1}\leq e$

$xe^{~1-a}\leq xe^{~-ax+1}\leq xe$

$\dint\nolimits_{0}^{1}xe^{~1-a}dx\leq I_{~a}\leq \dint\nolimits_{0}^{1}xedx$

$\left[ \frac{~x^{~2}}{~2}e^{~1-a}\right] _{~0}^{~1}\leq I_{~a}\leq \left[ \frac{~x^{~2}e}{~2}\right] _{~0}^{~1}$

$\frac{e^{~1-a}}{~2}\leq I_{~a}\leq \frac{~e}{~2}$

Corrigé Epreuve 2004 : Etude d’une application complexe et détermination d’ensembles images

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

a) Montrons que $F_{a}$ admet deux points invariants

$InvF{}_{a}=\{M{\in }P{\backslash }\{A\}/F{}_{\text{a}}(M)=M\}$

$F{}_{a}(M)=M$ ${\Leftrightarrow }$ $z=\frac{\mathit{az}\text{{-}}1}{a \text{{-}}z}$ ${\Leftrightarrow }az-z^{2}=az-1$ { donc } $z^{2}=1$

d'où $\ z=1\qquad ou\qquad z={}-1$

$InvF{}_{a}=\{I(1),J({}-1)\}$

b) Montrons que $F_{a}$ est une bijection

$M{\prime }(Z)\qquad M(z)$

$Z=\frac{\mathit{az}\text{{-}}1}{a\text{{-}}z}$ ${\Leftrightarrow }$
Za {-} Zz = az {-} 1

donc z(a+Z) = Za {}-1

Si $Z{\neq -}a$ c' est à dire $M{\prime \neq }B$

on a z = $\frac{\mathit{Za}+1}{a+Z}$ est unique

Ainsi $F{}_{a}$ est une bijection de $P\backslash \{A\}$ vers $P\backslash \{B\}$

notons $F_{a}^{-1}$ sa bijection réciproque

Montrons que $F_{a}^{-1}$ = $F_{-a}$

$F_{a}^{-1}(z)=\frac{\mathit{za}+1}{a+z}$

$F_{-a}(z)=\frac{(-a)z-1}{-a-z}=\frac{+\mathit{az}+1}{a+z}$

$F_{a}^{-1}(z)=F_{-a}(z)$ pour $z{\neq -}a$

ainsi $F_{a}^{-1}$ $=F_{-a}$

a) Vérifions que $(Z+a)(z{-}a)=1-a^{2}$

posons $p=(Z+a)(z{-}a)$

$p=\left( \frac{\mathit{az}-1}{a-z}+a\right) \left( z-a\right)$

$p=\frac{\left( \mathit{az}-1+a^{2}-\mathit{az}\right) }{\left( a-z\right) } \left( z-a\right)$

$p=\frac{\left( a^{2}-1\right) }{\left( a-z\right) }\left( z-a\right)$ or $z\neq a$

donc $p=1{-}a^{2}$

ainsi $(Z+a)(z{-}a)=(1{-}a^{2})$

b)

Montrons que $\overrightarrow{{\mathit{AM}}}\cdot \overrightarrow{{\mathit{AN }}}=\overrightarrow{{\mathit{AI}}}\cdot \overrightarrow{{\mathit{AJ}}}$

soit $N{\prime }$ symétrique par rapport au centre du cercle $(C)$ de $N$ avec $O{\prime }$ centre de $(C)$ .

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}=\left( \overrightarrow{{\mathit{AN}}\text{' }}+\overrightarrow{{N}\text{' }{M}} \right) .\overrightarrow{{\mathit{AN}}}$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}= \overrightarrow{{\mathit{AN}}\text{' }}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}+ \overrightarrow{{N}\text{' }{M}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}$

Or $\overrightarrow{{N}\text{' }{M}}\perp \overrightarrow{{\mathit{AN}}} \rightarrow \overrightarrow{{N}\text{' }{M}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}} =0$

donc $\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}= \overrightarrow{AN^{\prime }}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}=\left( \overrightarrow{AO^{\prime }}+\overrightarrow{{O}\prime {N}\prime }\right) .\left( \overrightarrow{{\mathit{AO}}\prime }+\overrightarrow{{O}\prime {N}} \right)$

Or $\overrightarrow{{O}\prime {N}\prime }=-\overrightarrow{{O}\prime {N}}$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}=\left( \overrightarrow{{\mathit{AO}}\prime }+\overrightarrow{{O}\prime {N}\prime } \right) .\left( \overrightarrow{{\mathit{AO}}\prime }-\overrightarrow{{O} \prime {N}\prime }\right)$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}={\mathit{AO}}$
' $^{2}-{O}$ ' ${N}$ ' $^{2}$

$O{\prime }N{\prime }=r=$ rayon du cercle $(C)$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}={\mathit{AO}}$
' $^{2}-r^{2}$

évaluons $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}\cdot \overrightarrow{{\mathit{AJ}} }=\overrightarrow{{?}}$

Soit $I{\prime }$ le point diamétralement opposé à $I$ sur $(C)$

$\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}= \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\left( \overrightarrow{{\mathit{AI}}\prime }+ \overrightarrow{{I}\prime {J}}\right)$

$\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}= \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AI}}\prime }+ \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{I}\prime {J}}$ avec $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{I}\prime {J}}=0$

donc $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}= \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AI}}\prime }$

par analogie $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}={ \overrightarrow{{\mathit{AO}}\prime }}^{2}-r^{2}$

d' où $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}= \overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}$

$\overrightarrow{{U}}_{1}(z_{1})\qquad \overrightarrow{{U}}_{2}(z_{2})$

$z_{1}=x_{1}+\mathrm{i}y_{1}$ avec $x_{1}$ et $y_{1}$ réels

$z_{2}=x_{2}+\mathrm{i}y_{2}$ avec $x_{2}$ et $y_{2}$ réels

$\overrightarrow{{u}}_{1}(z_{1})$ et $\overrightarrow{{u}}_{2}(z_{2})$
colinéaires donc $x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=0$

évaluons alors $z_{1}z_{2}$

$z_{1}\bar{z}_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})$

$z_{1}\bar{z}_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})$ avec $x_{2}y_{1}{-}x_{1}y_{2}=0$

donc $z_{1}\bar{z}_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$

$z_{1}\bar{z}_{2}=\overrightarrow{{u}}_{1}.\overrightarrow{{u}}_{2}$

La réciproque est facile à établir

En déduire que $(z-a)(\bar{z}$ ' $-a)=a^{2}-1$

On a déjà $\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}= \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}$

avec $\overrightarrow{{\mathit{AM}}}$ $(z{}-a)\qquad \overrightarrow{{ \mathit{AN}}}(z{\prime -}a)$

$\overrightarrow{{\mathit{AI}}}$ $(1{-}a)\qquad \overrightarrow{{\mathit{AJ}} }({}-1{-}a)$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}=(z-a)\bar{{(z} \text{' }{-a)}}=(z-a)(\bar{z}$ ' $-a)$

$\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}} =(1-a)(-1-a)=a^{2}-1$

donc $(z-a)(\bar{z}$ ' $-a)=a^{2}-1$

Montrons que $M{\prime }$ est le symétrique de $N$ par rapport à l'
axe des ordonnées

On a $(Z+a)(Z{-}a)=1{-}a^{2}$

donc $(Z-a)(\bar{Z}\text{' }-a)=-(Z+a)(Z{-}a)$

pour $Z$ ${\neq \alpha }$

$\bar{Z}\text{' }-a=-Z{-}a$

$\bar{Z}$ ' $=-Z$

donc $M{\prime }$ et $N$ sont symétriques par rapport à $Oy$ .

a) Construction de $M{\prime }$

$(AM)$ recoupe $(C)$ en $N$ et $M{\prime }$ est le symétrique de $N$ par
rapport à l' axe des ordonnées.

b) Image par $F_{a}$ d' un cercle contenant $I$ et $J$

Si $M$ ${\in }(C)$ alors $M{\prime \in }(C)$ \

donc $F_{a}\ (C){\subseteq }(C)\qquad (1)$

Réciproquement soit $M{\prime \in }(C)$ soit $N=S_{(\mathit{Oy})}(M{ \prime })$

donc $N{\in }(C)$

la droite $(AN)$ coupe $(C)$ en $M$ tel que $F_{a}(M)=M^{\prime }$

ainsi \ $(C){\subseteq }\ F_{a}(C)\qquad (2)$

en regroupant $(1)$ et $(2)$ on obtient $F_{a} (C){=}(C)$

$g:\mathbb{R}\backslash \{a\}$ ${\rightarrow }$ $\mathbb{R}$

$x\rightarrow \frac{\mathit{ax}-1}{a{-}x}$

g dérivable sur $\mathbb{R}\backslash \{a\}$ comme rapport des fonctions
dérivables.

$g$ ' $(x)=\frac{a^{2}{-}1}{(a{-}x)^{2}}$ {\TEXTsymbol{>}} 0

tableau de variation de $g$

En déduire $F_{a}([JI])$

On a g est strictement croissante sur $[-1,1]$

or $F_{a}(J)=J$ et $F_{a}(I)=I$

donc $F_{a}([JI])=[JI]$

Image par $F_{a}$ \ de l'axe des abscisses privée de $A$

On a $g(]-\infty ,a[)=]-a,+\infty \lbrack$

et $g(]a,+\infty \lbrack )=]-\infty ,-a[$

d'où l'image par $F_{a}$ \ de l'axe des abscisses privée de $A$ est
l'axe des abscisses privé de $B$

C $\left( \frac{-{1}}{a}\right)$

On a $\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{a(\mathit{ az}-1)+a-z}{\mathit{az}-1+a^{2}-\mathit{az}}\times {\frac{1}{a}}$

$\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{a^{2}z-z}{a^{2}-1}=\frac{z\left( a^{2}-1\right) }{\left( a^{2}-1\right) }\times {\frac{1}{a}}$

$\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{z}{a}$

donc $\mathit{arg}\left( \frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}\right) =\mathit{arg}(z)$

c) $(D)$ une droite passant par $O$ et distinct de $(Ox)$

soit $M(z){\in }(D)$ alors $\func{arg}(z)=\theta$ \ ou $\func{arg} (z)=-\theta$ avec $\theta \in ]0,\pi \lbrack$

or $\mathit{arg}\left( \frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}\right) =\mathit{ arg}(z)$

donc $\widehat{\left( \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{B}}}, \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{C}}}\right) }=\theta (2\pi )$
ou $\widehat{\left( \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{B}}}, \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{C}}}\right) }=-\theta (2\pi )$

donc $M\prime$ décrit un cercle passant par $B$ et $C$ privé de $B$
et $C$

Cas où $(D)=(Oy)$

alors $\widehat{\left( \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{B}}}, \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{C}}}\right) }=\frac{\pi }{2} (2\pi )$ ou $\widehat{\left( \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{B }}},\overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{C}}}\right) }=\frac{-\pi }{2}(2\pi )$

donc $M\prime$ décrit le cercle de diamètre $[BC]$ privé de $B$
et $C$

5) ${(\Gamma }r)$ est le cercle de centre O et de rayon $r$

a) $M{\in (\Gamma }r$ ) ${\Leftrightarrow }$ $OM=r.$

On a $\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{z}{a}$

$\frac{\left\vert {Z+\frac{1}{a}}\right\vert }{\left\vert {Z+a}\right\vert } =\frac{\left\vert {z}\right\vert }{\left\vert {a}\right\vert }$ or $\left\vert z\right\vert =OM=r$ et $\left\vert a\right\vert$ $=a$

donc $\frac{M\text{' }C}{M\text{' }B}=\frac{r}{a}$

b) Si $r{\neq }a$ , $\frac{M\text{' }C}{M\text{' }B}=k$ , $k{>}0$ ,{tex}\k{\neq}1

{/tex} et $k=\frac{r}{a}$

$M{\prime }$ décrit le cercle de diamètre $[SR]$ avec $S$ barycentre
de $(C(1),B(k))$ et $R$ barycentre de $(C({}-1),B(k))$

si $r=a$ , $M{\prime }B=M{\prime }C$

$M{\prime }$ décrit la médiatrice de $[BC]$ l' image de $({\Gamma } <span style="color: #0000ff;"><strong>_</strong></span>{a})$ est la médiatrice de $[BC]$ .

Si $r{\neq }a$ , l' image de $({\Gamma }_{a})$ est le cercle de diamètre $[SR]$

Corrigé Epreuve 2003 : Etude de fonctions

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

PARTIE A

1) $\varphi$ est la fonction définie par:

$\varphi(x)=\exp(\frac{-1}{x^{2}}),$ si $x\neq0$ et $\varphi(0)=0$

a) Sur $]-\infty,0[\cup]0,+\infty\lbrack$ $\varphi$ est continue et
dérivable comme composée de fonctions continues et dérivables.

Continuité de $\varphi$ en 0

$\varphi$ (0) = 0

$\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)=\lim_{t\rightarrow -\infty} e^{t}$ avec $t=-\frac{1}{x^{2}}$

or $\lim_{t\rightarrow -\infty} e^{t}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)=$ $\varphi$ $(0)$

d'où $\varphi$ continue sur $\mathbb{R}$

Dérivabilité de $\varphi$ en 0

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi(x)~}{~x}=\lim_{x\rightarrow 0}[-x(-\frac{~1}{~x^{~2}})e^{-\frac{~1}{~x^{~2}} }]=0$

car $te^{t}$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers $-\infty$

ainsi $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi(x)~}{~x}=0$

donc $\varphi$ est dérivable en 0 et $\varphi^{\prime}(0)=0$

d'où $\varphi$ dérivable sur $\mathbb{R}$

Si $x=0$ , $2\varphi(x)=2\varphi(0)=0$

Si $x=0$ , $x^{~3}\varphi^{\prime}(x)=0^{~3}\varphi^{\prime}(0)=0$

ainsi $2\varphi(0)=0^{~3}\varphi^{\prime}(0) \qquad (a)$

pour $x\neq0 \qquad \varphi^{\prime}$ $(x)=\left( e^{-\frac{~1}{~x^{~2}} ~}\right) ^{\prime}$

$\varphi^{\prime}(x)=\left( -\frac{~1}{~x^{~2}}\right) ^{\prime}\left( e^{-\frac{~1}{~x^{~2}}~}\right)$

$\varphi^{\prime}(x)=\frac{~2}{~x^{~3}}e^{-\frac{~1}{~x^{~2}}~},x\neq0$

ainsi $x^{~3}\varphi^{\prime}(x)=2e^{-\frac{~1}{~x^{~2}}~},x\neq0$

pour $x\neq0,$ $x^{~3}\varphi^{\prime}(x)=2\varphi(x) \qquad (b)$

en regroupant les résultats $(a)$ et $(b)$ on a:

$\forall x\in \mathbb{R} \qquad2\varphi(x)=x^{~3}\varphi^{\prime}(x)$

2) Variation de $\varphi$

pour $x\neq0,$ $\varphi^{\prime}$ $(x)=\frac{2\varphi(x)~}{x^{~3}~}$

$\varphi^{\prime}(x)$ et $x^{~3}$ ont le même signe pour $x\neq0$

$2\varphi(x)$ garde un signe constant positif

Remarque : $\varphi$ est paire

Recherche des points d'inflexion éventuels.

$2\varphi(x)$ $=x^{~3}\varphi^{\prime}(x)$ pour $x\neq0$

$2\varphi^{\prime}(x)=3x^{~2}\varphi^{\prime}(x)+x^{~3}\varphi^{\prime\prime }(x)$

$x^{~3}\varphi^{\prime\prime}(x)=2\varphi^{\prime}$ $(x)-3x^{~2} \varphi^{\prime}(x)$

$x^{~3}\varphi^{\prime\prime}(x)=\frac{~4\varphi(x)}{~x^{~3}}-3x^{~2} \frac{~2\varphi(x)}{~x^{~3}}$

$\varphi^{\prime\prime}(x)=\frac{~2\varphi(x)}{~x^{~6}}(2-3x^{~2}),$ $x\neq0$

Etudions $~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{~\varphi^{\prime}(x)}{~x}=~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{~\frac {~2\varphi(x)}{~x^{~3}}}{~x}$

$~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{~\varphi^{\prime}(x)}{~x}=~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2~\varphi(x)}{~x^{~4}} =~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{~2}{~x^{~4}}e^{-\frac{~1}{~x^{~2}}~}=0$

donc $~\varphi^{\prime\prime}(0)=0$

signe de $\varphi^{\prime\prime}$

donc on a deux points d'inflexion en $A\left( -\sqrt{\frac{~2}{~3}} ,~\varphi(-\sqrt{\frac{~2}{~3}})\right)$ et $B\left( \sqrt{\frac{~2}{~3} },~\varphi(\sqrt{\frac{~2}{~3}})\right)$

courbe de $\varphi$

PARTIE B

$f(x)=\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)};x\neq0$ et $f(0)=0$

a) Montrons que f est impaire sur $\mathbb{R}$

f étant définie sur $\mathbb{R} ,$ si $x\in \mathbb{R}$ alors $-x\in \mathbb{R}$

si $x\neq0\qquad f(-x)=\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(-x)}$

or $\varphi$ paire donc $\varphi(-x)=\varphi(x)$

d'autre part ${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt$ en posant $u=-t,$ on a d $u=-dt$

${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt$ $= {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(-u)du$ or $\varphi(-u)=\varphi(u)$

${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt$ $=- {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(u)du$ ainsi $f(-x)=\frac{~- {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)};x\neq0$

donc pour $x\neq0,$ $f(-x)=$ $-f(x)$

$~f$ est alors impaire sur $\mathbb{R} .$

b) $0\leq t\leq x$

sur $\left[ ~0,x\right] \qquad u\longmapsto\varphi(u)$ est croissante

donc $\varphi(0)\leq\varphi(t)\leq\varphi(x)$

ce qui entraine $\varphi(t)\leq\varphi(x)$

la fonction $t\longmapsto\varphi(t)~$ continue sur $\left[ ~0,x\right] ,x>0$

par passage de l'intégrale de $0$ à $x$ on obtient

${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\leq$ ${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(x)dt$

donc ${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\leq$ $x\varphi(x);pour~x>0$

c) pour $x>0, {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\succeq0$ et $\varphi(x)>0$

donc $f(x)=\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)}\geq0$

d'autre part pour $~x>0$

$0\leq {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\leq$ $x\varphi(x)$

$0\leq\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)}\leq$ $x$

donc $0\leq f(x)\leq$ $x$

or $\lim_{x\rightarrow 0^+}0=\lim_{x\rightarrow 0^+} x=0$

On en déduit que $\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0$

f étant impaire $\lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0$

donc $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0$

or $f(0)=0$

ainsi $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(0)$

f est alors continue en $0$

a) Pour $x=0,$ $2J_{~n}(0)=0$

$(n+3)J_{~n+2}(0)=0$

$0^{~n+3}\varphi(0)=0$

donc pour $x=0$ on a $2J_{~n}(x)+(n+3)J_{~n+2}(x)=x^{~n+3}\varphi(x)$

étudions le cas où $x\neq0$

$J_{~n}(x)= {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} t^{~n}\varphi(t)dt\qquad\varphi(t)=\frac{~t^{~3}}{~2}\varphi\prime(t)$

$J_{~n}(x)=\frac{~1}{~2} {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} t^{~n+3}\varphi\prime(t)dt$

on pose:

$u=t^{~n+3},u^{\prime}=(n+3)t^{~n+2}$

$v^{\prime}=\varphi^{\prime}(t),v=\varphi(t)$

$2J_{~n}(x)=\left[ t^{~n+3}\varphi(t)\right] _{~0}^{~x}- {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} (n+3)t^{~n+2~}\varphi(t)dt$

$2J_{~n}(x)=x^{n+3}\varphi(x)-(n+3) {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} t^{~n+2~}\varphi(t)dt$

$2J_{~n}(x)+(n+3)J_{~n+2}(x)=x^{~n+3}\varphi(x)$

b) Pour $x>0$ Montrons que $J_{~n}(x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~n+3}\varphi(x)$

on a d'aprés 2) : $2J_{~n}(x)=x^{n+3}\varphi(x)-(n+3)J_{~n+2}(x)$

or $-(n+3)J_{~n+2}(x)\leq0$ donc $x^{n+3}\varphi(x)-(n+3)J_{~n+2}(x)\leq x^{n+3}\varphi(x)$

d'où $2J_{~n}(x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~n+3}\varphi(x)$ aussi $J_{~n} (x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~n+3}\varphi(x)$

Montrons que $J_{~n+2}(x)\leq\frac{~1}{~\left( n+3\right) }x^{~n+3} \varphi(x)$

d'aprés la relation 2) : $(n+3)J_{~n+2}(x)-x^{n+3}\varphi(x)=-2J_{~n}(x)$

or $-2J_{~n+2}(x)\leq0$ donc $(n+3)J_{~n+2}(x)-x^{n+3}\varphi(x)\leq0$

aussi $(n+3)J_{~n+2}(x)\leq x^{n+3}\varphi(x)$

d'où $J_{~n+2}(x)\leq\frac{~1}{~\left( n+3\right) }x^{~n+3}\varphi(x)$

c) Si $n=0$

$J_{~0}(x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~3}\varphi(x)$ et $x>0$

$0\leq\frac{~J_{~0}(x)}{~\varphi(x)}\leq\frac{~1}{~2}x^{~3}$

$0\leq f(x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~3}$

pour $x>0,0\leq\frac{~f(x)}{~x}\leq\frac{~1}{~2}x^{~3}$

donc $\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x)}{x}=0$

$f$ est alors dérivable à droite de $0$

$x\longmapsto\frac{~f(x)}{~x}$ est paire sur $\mathbb{R} ^{~\ast}$

donc $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)}{x}=0$

donc $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=0$ or $f(0)=0$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{~x~-~0}=0$

d'où $f$ est dérivable en $0$ et $f^{\prime}(0)=0$

a) pour $n=0$ , on a $2J_{~0}(x)+3J_{~2}(x)=x^{~3}\varphi(x)$

pour $n=2,$ on a $2J_{2}(x)+5J_{~4}(x)=x^{~5}\varphi(x)$

ainsi

$J_{~2}(x)=\frac{x^{~3}\varphi(x)~-~2J_{~0}(x)}{3}$

$\frac{2x^{~3}\varphi(x)~-~4J_{~0}(x)}{3}+5J_{~4}(x)=x^{~5}\varphi(x)$

$15J_{~4}(x)+2x^{~3}\varphi(x)-~4J_{~0}(x)=3x^{~5}\varphi(x)$

$J_{~0}(x)=\frac{~15}{~4}J_{~4}(x)+\left( \frac{~1}{~2}x^{~3}-\frac{~3} {4}x^{~5}\right) \varphi(x)$

b) $J_{~0}(x)=~f(x)\varphi(x)$

donc $~f(x)=$ $\frac{~15}{~4}\frac{~J_{~4}(x)}{~\varphi(x)}+\frac{~1} {~2}x^{~3}-\frac{~3}{4}x^{~5}$

$\frac{~f(x)}{~x^{~3}}=\frac{~15}{~4}\frac{~J_{~4}(x)}{~x^{~3}~\varphi (x)}+\frac{~1}{~2}-\frac{~3}{4}x^{~2}$

or $0\leq\frac{~J_{~4}(x)}{~x^{~3}~\varphi(x)}\leq\frac{~1}{~5}x^{~2}$ donc
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{J_{4}(x)}{x^{3}\varphi(x)}=0$

donc $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)}{x^{3}}=\frac{~1} {~2}$ or $x\longmapsto\frac{~f(x)}{~x^{~3}~}$ paire

donc $\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{f(x)}{x^{3}} =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{f(x)}{x^{3}}=\frac{1}{2}$

c) pour $x\neq0$

$~f(x)=$ $\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)}$

$~f\prime(x)=\frac{\left( {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\right) ^{\prime}~\varphi(x)-~\varphi(x)^{\prime} {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{\left[ ~\varphi(x)~\right] ^{~2}}$

or $\left( {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\right) ^{\prime}~=~\varphi(x)~$

et $2\varphi(x)~=x^{~3}~\varphi\prime(x)$

donc $\varphi\prime(x)=\frac {~2\varphi(x)}{~x^{~3}}$

$~f\prime(x)=\frac{\varphi(x)\times\varphi(x)-\frac{~2\varphi(x)}{~x^{~3}} {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{\left[ ~\varphi(x)~\right] ^{~2}}$

$f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x^{3}}\frac{ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{\varphi(x)}$

ainsi $f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x^{3}}f(x);x\neq0$

or $f^{\prime}(0)=0$

$\lim_{x\rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\left[ 1-\frac{2}{x^{3}}~f(x)\right]$ or $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=\frac{1}{2}$

ainsi $\lim_{x\rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1-2\times\frac{~1}{~2}=0$

conclusion : $\lim_{x\rightarrow 0} f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)$

$f^{\prime}$ est continue en 0

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