Corrigé Epreuve 2006: Nombres complexes, équations différentielles et jeu de dé

Vous êtes ici : Accueil

resumé-les sujets de resumé

Corrigé 2008

Corrigé Epreuve 2006: Nombres complexes, équations différentielles et jeu de dé

Détails: Catégorie : algèbre

1) a) Résoudre dans l'équation $(E):z^{2}-2z+2=0$

$z^{2}-2z+2=0$

$(z-1)^{2}+1=0$

$(z-1)^{2}-\mathrm{i}^{2}=0$

$(z{}-1+i)(z{}-1{}-i)=0$

$z=1{-}i\qquad ou\qquad z=1+i$

$z_{1}=1+\mathrm{i}$ $z_{2}=1-\mathrm{i}$

b)

$CAB$ est isocèle en $C$ car z $_{A}$ = $\overline{z_{B}}$ et $C$ ${\in } (Ox)$

$\widehat{\left( \overrightarrow{{\mathit{CA}}},\overrightarrow{{\mathit{CB}} }\right) }=\arg \left( \frac{z_{B}{-}z_{C}}{z_{A}-z_{C}}\right)$

$\frac{z_{B}{-}z_{C}}{z_{A}{-}z_{C}}=\frac{1{-}\text{\textrm{i}}{-}1{-} \sqrt{3}}{1+\mathrm{i}{-}1{-}\sqrt{3}}=\frac{{-}\sqrt{3}{-}\mathrm{i}}{{-} \sqrt{3}+\mathrm{i}}=\frac{\left( \sqrt{3}+\mathrm{i}\right) ^{2}}{4}$

$\frac{z_{B}{-}z_{C}}{z_{A}{-}z_{C}}$ \ $=\frac{2+2\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}= \frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}={\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{3}}$

ainsi $ABC$ équilatéral.

2)

$y{\prime}{\prime}{-}2y{\prime }+2y=0$

l'équation caractéristique est $r^{2}{-}2r+2=0$

$\Delta$ {'} $=1{-}2=-{1}={\mathrm{i}}^{2}$

$r_{1}=1+\mathrm{i}$

d'où $y(x)=(\mathit{Acosx}+\mathit{Bsinx}){\mathrm{e}}^{x}$

3) On considère l'équation différentielle (1) : $ay{\prime}{\prime}-by{\prime} +cy=0$ , où a, b et c désignent trois
paramètres, éléments de l'ensemble $\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}$

a)

Si $ay{\prime}{\prime} {-} by{\prime} + cy = 0$ a pour solutions les
fonctions de la forme $x\rightarrow (\mathit{Acosx}+\mathit{Bsinx}){\mathrm{e }}^{x}$

alors l'équation caractéristique $\mathit{ar}^{2}{-}\mathit{br}+c=0$
admet $1+i$ pour solution dans $%TCIMACRO{\U{2102} } %BeginExpansion \mathbb{C} %EndExpansion .$

Réciproquement

Si $1+i$ est solution dans $% %TCIMACRO{\U{2102} }% %BeginExpansion \mathbb{C} %EndExpansion$ de $\mathit{az}^{2}{-}\mathit{bz}+c=0$

alors $a(1+i)^{2}-b(1+i)+c=0$

$-b+c+i(2a-b)=0$

ce qui entraine $b=c=2a$

$\Delta =b^{2}{-}4\mathit{ac}=(2a)^{2}-8a^{2}=-4a^{2}<0$

l'équation caractéristique de l'équation différentielle $ay{\prime}{\prime}-by{\prime} +cy}=0$ admet $1+i$ pour solution

l'équation différentielle $ay{\prime}{\prime}-by{\prime} +cy=0$ a
pour solution les fonctions de la forme $x\rightarrow (\mathit{Acosx}+ \mathit{Bsinx}){\mathrm{e}}^{x}$

b) Soit $(E)$ l'évènement:

$"$ les solutions de $(1)$ sont les fonctions de la forme $x\rightarrow ( \mathit{Acosx}+\mathit{Bsinx}){\mathrm{e}}^{x},A$ et $B$ étants des
constantes réelles $"$

donc on a $b=c=2a$

d'où $(E)$ est constitué de résultats de la forme $(a,2a,2a)$

$(E)=\{(1,2,2),(2,4,4),(3,6,6)\}$

or $Card\Omega =6^{3}$

$p(E)=\frac{3}{6^{3}}=\frac{1}{72}$

< Précédent

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33