Corrigé Epreuve 2001:Nombres complexes et ensemble de points (04 pts)

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Corrigé Epreuve 2001:Nombres complexes et ensemble de points (04 pts)

Détails: Catégorie : algèbre

Nombres complexes et ensemble de points (04 pts - 2001)

1-a) f(z)=0 $\Leftrightarrow z^2-2(i+1)z+i=0$ dans $C-\{2i\}$

$\left\{ \begin{array}{c} z_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ z_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{c} z_{1}=\cos \frac{\Pi }{2}+i\sin \frac{\Pi }{2} \\ z_{2}=\cos \frac{5\Pi }{2}+i\sin \frac{5\Pi }{2} \end{array} \right.$

b)

$Z_{1}^{4}=(\cos \frac{\Pi }{4}+i\sin \frac{\Pi }{4})^{4}=\cos \Pi +i$ $\sin \Pi =1$

$Z_{1}^{4}=(\cos \frac{5\Pi }{4}+i\sin \frac{5\Pi }{4})^{4}=\cos 5\Pi +i$ $\sin 5\Pi =-1$

$Z_{1}^{4}+Z_{2}^{4}=0$

2- Soit $M(z)$ un point de $P$ tel que $z=x+iy$ . avec $z\neq 2i$

$f(x)=\frac{2(x+iy)-i}{x+iy-2i}$

$=\frac{2x^2+2y^2-5y+2+i(3x)}{x^2+(y-2)^2}$

$f(z)$ imaginaire puis équivaut à $2x^2+2y-5y+2=0$ avec $\left\{ \begin{array}{c} x\neq 0 \\ y\neq 0 \end{array} \right.$

$C^{\prime }est-\grave{a}-dire:x% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion +y-\frac{5}{2}y+1=0(x\neq 0,y\neq 0)$

$d^{\prime }o\grave{u}$ $x% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion +(y-\frac{5}{4})% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion -\frac{9}{16}=0$

$(\Gamma )=\{M(x,y)/x% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion +(y-\frac{5}{4})% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion =\frac{9}{12}\}-\{(0,2)\}$

3) - si $|z|=1$ alors $|f(x)|^2 =(\frac{2z-i}{z-2i})(\frac{2\text{ }\bar{z}+i}{\bar{z}+2i})$

$=\frac{4|z|^2+2i(z-\bar{z})+1}{|z|^2+2i(z-\bar{z})+4}$ en posant $z=x+iy$

$=\frac{5-4y}{5-4y}=1$ $avec$ $y\neq \frac{5}{4}$

donc si $|z|=1 alors$ $|f(x)|=1$ $avec$ $y\neq \frac{5}{4}$ $pour$ $% z=x+y$

si $|f(x)|=1$ $alors$ $\ 4|z|% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion +2i(z-\bar{z})+1=|z|% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion +2i(z-\bar{z})+4$

donc $z|z|% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion =3$ $d^{\prime }o\grave{u}$ $|z|=1$

En r $\acute{e}$ sum $\acute{e}$ $|z|=1\Leftrightarrow |f(x)|=1$ $avec$ $\func{% Im}z\neq \frac{5}{4}$

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