Corrigé 2016 :

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Corrigé 2008

Corrigé 2016 :

Détails: Catégorie : Mécanique

3.1.1 Les forces extérieures qui s’appliquent sur S à l’équilibre :

3.1.2 Les allongements $x_1$ et $x_2$ à l’équilibre :

$L=(L_0+x_2)+(L_0+x_1)\Rightarrow x_1+x_2=L-2L_0$

$T.C.I:\vec{P}+\vec{R_N}+\vec{T_1}+\vec{T_2}=\vec{O}$

$-mgsin\alpha-T_2+T_1=0\Rihtarrow-mgsin\alpha-kx_2+kx_1=0$

$x_1-x_2=\frac{mgsin\alpha}{k}$

$x_1=\frac{1}{2}\left(L-2L_0+\frac{mgsin\alpha}{k}\right)$ et $x_2=\frac{1}{2}\left(L-2L_0+\frac{mgsin\alpha}{k}\right)$

$<span>A.N\quad :\quad </span>x_1=6,25cm$ et $x_2=3,75cm$

3.2.1 Equation différentielle du mouvement : $TCI\Rihtarrow\vec{P}+\vec{R_N}+\vec{T^{\prime}_1}+\vec{T^{\prime}_2}=m\vec{a}\Rihtarrow$ En projetant sur l’axe xx’ parallèle au plan et orienté vers le haut on obtient : $k(x_1-x)-k(x_2-x)+mgsin\alpha=m\ddot{x}$

or $mgsin\alpha+kx_2-kx_1=0$ on tire $\ddot{x}+\frac{2k}{m}x=0$

3.2.2 Nature du mouvement : l’équation différentielle montre que le système étudié un oscillateur harmonique : le mouvement est rectiligne sinusoïdal.

Expression de $T_0:T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}$

3.3 Montrons que : Système conservatif l’énergie mécanique est constante . $\frac{dE_m}{dt}=0$

$E_m=E_c+E_pE_c=\frac{1}{2}m\dot{x^2}\quad E_p=\frac{1}{2}k(x_2+x)^2+\frac{1}{2}k(x_1+x)^2+mgxsin\alpha$

$E_m=\frac{1}{2}m\dot{x^2}+ \frac{1}{2}k(x_2+x)^2+\frac{1}{2}k(x_1-x)^2+mgxsin\alpha$

$\frac{dE_m}{dt}=\dot{m}\ddot{m}+k\dot{x}(x_2+x)-k\dot{x}(x_1-x)+mg\dot{x}sin\alpha\Rightarrow\dot{x}[k(x_2+x_1+2x)+mgsin\alpha+m\ddot{x}]=0$

or $mgxsin\alpha+kx_2-kx_1=0$ on tire $\ddot{x}+\frac{2k}{m}x=0$

3.4.1 Identification u passage par x la vitesse est maximale donc l’énergie cinétique est maximale : $C_1$ correspond à $E_C$ .
Au passage par x l’énergie potentielle est nulle : $C_2$ correspond à $E_P$ .
L’élongation étant la seule grandeur algébrique parmi les trois donc $C_3$ correspond à x.

3.4.2 Valeurs des périodes :

Période pour $E_P$ ou $E_C:T=47\ast 3=141\quad ms.$ :

Période pour $x:T_0=47\ast 6=282\quad ms.$

Comparaison : $T_0=2T$

3.5 Valeur de chaque division :

$E_p=\frac{1}{2}k(x^2_1+x^2_2)=\frac{1}{2^\cdot}20.(6,25^2+3,75^2).10^{-4}=53,125.10^{-3}J$

$E_p/division\quad =\frac{E_p}{3}=17,7\textrm{mJ par division}.$
.

Déduction de la vitesse maximale :

$E_{C\quad max}=\frac{1}{2}mV^2_{max}\rightarrow V_{max}=\sqrt{\frac{2.E_{C\quad max}}{m}}\quad graphe\quad E_{C\quad max}=3divisions=53,125.10^{-3}J$

$V_{max}=\sqrt{\frac{2\ast 53,125.10^{-3}}{0,1}}=1,0 m/s.$

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