PARTIE A
1) Etude du signe de s'annule pour
=1 soit
ou
soit
D'où si
si
son tableau de singe
2) a) :
L'ensemble de définition
b) , on a
, le signe de
est celui de
, ainsi
si
Si ,
et
,
Tableau de variation
c) Le maximum de est 0 d'où pout tout
,
PARTIE B
f est une fonction définie par
est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d'unité 2cm.
1. a) Si existe si
ou
.
Si , f(x)=
si
est définie dans \\
b)
Branches infinies : et
d'où la droite d'équation
est assymptote verticale à
.
Etudions
D'où la droite d'équation
est assymptote à
pour
Etudions
, D'où pour
,
admet une direction asymptotique d'équation
c) Position de par rapport à l'aasymptote d'équation
sur
.
Pour ,
est du signe de
. Ainsi,
si
et
si
.
D'où si
se situe au dessous de l'asymptote et si
,
se situe au dessus de l'asymptote.
2) a) Continuité de f en 0 d'où f est continue en 0 à gauche.
d'où f est continue en 0 à droite.
f est continue en 0 à gauche et f est continue en 0 à droite ce qui fait que f est continue en 0.
b) Dérivabilité en 0
D'où f est dérivable en 0 à gauche et f'_{g}(0)=0 donc f n'est pas dérivable en 0 à droite.
Interprétation des résulats, au point d'abscisse 0, la courbe
possède une demi tangente horizontale à gauche.
, au point d'abscisse 0, la courbe
posséde un demi tangente verticale à droite.
3) Pour
Le signe de f'(x) est celui de étudié en A)
Pour ,
On sait que et
sur
d'où
4) Courbe de f
5) Calcul de l'aire du domaine défini par
partie hachurée sur la figure.
L'aire de ce domaine est :
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