2005: Etude de fonction et bijection

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Synthèse

Terminale S2

2005: Etude de fonction et bijection

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

PARTIE A

Soit f la fonction de la variable réelle x définie par :
$f(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}-\ln(1+e^{x})$

1) a) Etudier les variations de f.

b) Montrer que $\lim_{x\rightarrow+\infty}{\left[ f(x)-1+x\right] =0$

Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$ ? Tracer cette courbe (Unité: 2 cm).

c) Montrer que f réalise une bijection de $\left] -\infty,+\infty\right[$ sur $\left] -\infty,0\right[$

2) soit g la fonction de la variable réelle x définie par : $g(x)=e^{-x}\ln(1+e^{x}).$

a) démontrer que g est dérivable sur $\mathbb{R}$

b) Montrer que quel que soit le réel x, $g\prime(x)=e^{-x}.f(x)$

c) Montrer que $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0$ et $\lim_{x\rightarrow-\infty}g(x)=1$

d) Etudier les variations de g et tracer sa courbe représentative dans le repère précédent.

3) a) Montrer que $\frac{1}{1+e^{x}}=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$

b) A tout réel $\lambda$ , on associe le réel $I(\lambda)=% {\dint _{0}^{\lambda}}% {\displaystyle\int_{0}^{\lambda}} g(x)dx$ . Justifier l'existence de $I(\lambda)$ . Calculer $I(\lambda)$ à l'aide d'une intégration par parties.

c) Calculer $\lim_{\lambda\rightarrow+\infty}I(\lambda).$

PARTIE B

1) Montrer que g est une bijection de $\mathbb{R}$ sur un intervalle $J$ à préciser.

2) a) Calculer $g(0)$ .

b) Montrer que $g^{-1}$ est dérivable au point $ln2$ .

c) Déterminer l'équation de la tangente à $C_{g-1}$ au point d'abscisse $ln2$ .

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