2000 : Calcul intégral et bijection réciproque(11 pts)

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Catégorie : Fonctions numériques

 

Soit la fonction de définie par :

 

 

Le plan est muni d’un repère orthonormé (unité graphique 2 cm)

 

On désigne par (C ) la courbe représentative de f et la droite d’équation y = x.

 

Partie A

 

1-a) - Montrer que f est continue en

 

b) – Etudier la dérivabilité de en 0.

 

2-a) – Montrer que pour , .

 

b) – Etudier les variations de . En déduire que pour x >0, f ’(x) >0.

 

c) – Donner le tableau de variation de f.

 

3-a) Déterminer \ \ .

 

b) Montrer que  est asymptote à (C ) au voisinage de . On admettra que (C ) est en dessous de (D).

 

4-a) – Construire (C ), on précisera les coordonnées de I, point d’intersection de (C ) et pour x >0

 

b) – Déterminer la nature de la branche infinie de la courbe (C ) en

 

Partie B

 

1) – Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x de

 

2) – En déduire au moyen d’une intégration par partie que la fonction F telle que :

est primitive de f sur

 

3) – Calculer l’aire A en cm² de la partie du plan limitée par , (C ) et les droites d’équations et .

 

Partie C

 

1-a) Montrer que f admet une bijection réciproque notée

 

b) est-elle dérivable en 0 ? Préciser la nature de la tangente en 0 à la courbe représentative de

 

2) – Construire (C ’ ) courbe représentative de dans le repère .

 

3) – Déduire du B.3) l’aire du domaine (D) ensemble des points

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