2003 :Etude de fonctions

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1997 : Équations dans C(04 pts)

Terminale S2

2003 :Etude de fonctions

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

A. On considère la fonction:

$u:[0,\infty\lbrack\mapsto \mathbb{R}$

$x\longrightarrow\ln\left\vert \frac{x+1}{x-1}\right\vert -\frac{2x} {x^{2}-1}$

1) déterminer l'ensemble de définition de $u$ ; calculer $u(0)$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}u(x)$

2) Etudier les variations de $u$ . dresser son tableau de variations (il n'est pas nécessaire de calculer la limite de $u$ en $1$ )

3) Déduire des résultats précédents que:

a) $\forall x\in\lbrack0,1[,u(x)\geq0$

b) $\forall x\in]1,+\infty\lbrack,u(x)<0$

B) Soit g la fonction définie par :

$g:[0,\infty\lbrack\mapsto \mathbb{R}$

$x\mapsto x\ln\left\vert \frac{x+1}{x-1}\right\vert -1$

1) Déterminer $Dg$ (le domaine de définition de $g$ ); puis étudier la limite de $g$ en $1$ .

2) vérifier que $\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$

Montrer que $\lim_{x\mapsto+\infty}\frac{(x-1)}{2}\ln(1+\frac {2}{x-1})=1$

b) En déduire que $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=1$ Interpréter géométriquement ce résultat.

c) Dresser le tableau de variation de g.

d) Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ unique appartenant à $]0,1[$ tel que $g(\alpha)=0$

Donner un encadrement d'ordre $1$ de $\alpha.$

3) Tracer la courbe $C_{g}$ de $g$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité = $2$ cm)

C. Soit la fonction définie par $f(x)=(x^{2}-1)\ln\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}$

1) Montrer que $f$ est dérivable sur $\left[ 0,1\right[$ et que $f^{\prime}(x)=g(x),\forall x\in\left[ 0,1\right[$

2) Déterminer l'aire du domaine plan limité par la courbe $(C_{g})$ ; l'axe des abscisses; l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\alpha.$

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