2001 : Intersection d’une droite et d’une courbe (12 pts)

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Algèbre

1997 : Équations dans C(04 pts)

Terminale S2

2001 : Intersection d’une droite et d’une courbe (12 pts)

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

On considère la fonction g défini par :

$\left\{ \begin{array} [c]{c} g(x)=x(1-\ln x)^{2}six>0\\ g(0)=0 \end{array} \right.$

Où lnx désigne le logarithme népérien de x, on appelle sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

1. a) Etudier la continuité et la dérivabilité de g sur son ensemble de définition.

b) Etudier les variations de g.

c) Tracer ( C ).

2. a) Soit α un réel appartenant à l’intervalle $]0,e[$ .

Calculer à l’aide de deux intégrales par parties, l’aire $A$ ( $\alpha$ ) du domaine plan limité par l’axe des abscisses, la courbe ( C ) et les droites d’équations respectives :

$x=\alpha$ et $x=e$

b) Calculer $\underset{\alpha \rightarrow 0^{+}}{\lim }A(\alpha )$

3. a) Déterminer les coordonnées des points d’intersections de la courbe ( C ) et la droite $(\Delta ):y=x$

b) Pour quelles valeurs de m la droite $(\Delta _{m}):y=mx$ , recoupe-t-elle la courbe C en deux points $M_{1}etM_{2}$ autres que 0 ?

c) La droite $(\Delta _{m})$ coupe la droite D d'éqaution $x=e$ en P. Montrer que. $OM_{1}xOM_{2}=OP^2$

4. a) Montrer que la restriction h de la fonction g à l'intervalle $\left[ e,+\infty \right[$ admet une réciproque $h^{-1}$ dont on précisera l'ensemble de définition.

b) Sur quel ensemble $h^{-1}$ est-elle dérivable ?

Calculer $h(e^{2})$ ; en déduire $\left( h^{-1}\right) ^{\prime }\left( e^{2}\right)$ .

c) Construire la courbe de $h^{-1}$ dans un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

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