1999 : bijection réciproque(12 pts)

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Catégorie : Fonctions numériques

 

On considère la fonction définie par :

 

 

On désigne par (C) la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthonormé avec

 

Partie A (5 points )

 

1) - quel est le domaine de définition de .Calculer (-2) et (3) .

 

2) - Montrer que la fonction f est continue en zéro .

 

3) a)- Etablir que la dérivée de a pour expression

 

si

 

si

 

b) – La fonction f est-elle dérivable en 0 ? justifier votre réponse .

 

c) – Dresser le tableau de variation de la fonction .

 

4) – Démontrer que l’équation admet une racine unique comprise entre –1,6 et 1,5 .

 

5)  a) – Justifier que la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe lorsque x tend vers .

 

b) - Etudier la position de par rapport à dans .

 

6) Tracer la courbe (C) en représentant sur la même figure les asymptotes ; les demi tangentes en 0 et les points d’intersection avec les axes de coordonnées .

 

Partie B (4 points )
Soit g la restriction de f à [0 ; 2] .

 

1) – Montrer que g définit une bijection de [0 ; 2] sur un intervalle J à préciser .

 

2) – On note la bijection réciproque de .

 

a) Résoudre l’équation .

 

b) Montrer que .

 

3) - On appelle (C ’) la courbe représentative de .

Tracer (C ’) en utilisant la courbe C et une transformation à préciser ( on placera sur la courbe C ’ le point d’ordonnée 1 et la tangente au point d’abscisse )

 

Partie C (3 points )

 

étant un réel strictement positif , on pose

 

.

 

1)a) – Interpréter graphiquement .

 

b) – En procédant à une intégration par parties , calculer .

 

2) - Quelle est la limite de lorsque tend vers .

 

3) On pose

 

a) Calculer

 

b) En déduire la valeur en cm² de l’aire de la partie limitée par C ’ et les droites d’équation ; et

 

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