2018 : Problème - Equations différentielles et étude de fonctions

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Catégorie : Fonctions numériques

 

PARTIE A

 

1) Soit l’équation différentielle (E) : y’’ + 4y’ + 4y = 0.

 

Déterminer les solutions h de (E) définies sur . (0,5 pt)

 

2) On considère l’équation différentielle (F) : y’’ + 4y’ + 4y = – 4x.

 

a) Déterminer les réels a et b tels que la fonction soit solution de (F). (0,5 pt)

 

b) Montrer qu’une fonction f est solution de (F) si et seulement si est solution de (E).(0,75 pt)

 

c) En déduire toutes les solutions de (F). (0,5 pt)

 

d) Donner la solution f de (F) qui vérifie : f(0) = 2 et f’(0) = -2. (0,5 pt)

 

PARTIE B

 

On considère la fonction f définie sur l’intervalle par :

 

 

 

d’unité graphique 2 cm.

 

1) a) Calculer les dérivées f’ et f’’ de la fonction f sur . (1 pt)

 

b) Etudier les variations de f’, puis dresser le tableau de variation de f’ sur . (0,5+0,5 pt)

 

c) En déduire le signe de f’ sur . (0,5 pt)

 

2) Etudier les variations de f sur . (0,5 pt)

 

3) Dresser le tableau de variation de f. (0,5 pt)

 

4) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique et que . (0,5+0,5 pt)

 

5) Montrer que la courbe admet une asymptote oblique (D) que l’on déterminera, puis étudier la position de (D) par rapport à la courbe (Cf). (0,5+0,5 pt)

 

6) Construire les asymptotes, puis la courbe . (1,75 pt)

 

 

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