1 a) Détermination des sommets.
l'ellipse ayant pour : centre , sommet , foyer
on a : I est le milieu de avec le
sommet opposé .
donc
donc
. l'équation de l'ellipse est de la forme avec donc l'ellipse a pour pour équation :
avec
les autres sommets ayant même abscisse que , on a
pour on a ou
d'où
Ainsi les trois autres sommets sont \ \
1.b. Détermination de l'excentricité : =
. Détermination de la directrice
a pour l'équation : dans le repére
c'est-à-dire dans
d'où :
1.c :
2.a) Résolution de l'équation :
b) Coordonnée de
. Dans a pour
coordonnée
.
donc
d'où avec
L'ensemble des points lorsque varie dans est la demi ellipse située dans le demi plan
a pour coordonnée
donc d'où avec
l'ensemble des points lorsque varie dans est
le symétrique de l'ensemble des points par rapport à l'axe
des abscisses.
1) (H) :
donc a une équation de la forme : qui est l'équation d'une hyperbole de foyer , de directrice associée d'équation d'excentricité
Construction
2)
a) si alors
on a :
donc la trajectoire de est la partie de
correspondant à dans
b) la vecteur vitesse a pour coordonnées ' et ' avec :
Pouron a
or dans
le point d'abscisse 2 a pour ordonnée
en ce point a pour coordonnées
la tangente au point de coordonnées
a pour vecteur directeur
c) le vecteur accélération a pour coordonnées
et avec :
On a :
On a : donc le mouvement de est accéléré.
est le cercle trigonométrique.
A tout point on associe symétrique du point d'affixe
par rapport à la tangente en au cercle .
1) montrons que l'axe des abcsisses est un axe de symétrie de
Soit la reflexion d'axe l'axe des abscisses
et posons
appelons la tangente en au cercle
soit
on a est tangente à en
étant la médiatrice de , alors est la
médiatrice de
d'où S
donc est le symétrique du point par rapport à
qui est la tangente en à .
d'où
2)
On a , et
colinéaire à donc
det( , ) = 0
donc
ainsi on obtient
milieu de est sur
donc
ce qui donne
On a le système
En résolvant le système on obtient:
3)
a) Variation de et sur
b)
Evaluons det(
det({tex}\overrightarrow{~u}~,~\overrightarrow{~v})=2\cos t\cos\frac{~3}
{~2}t-2\cos\frac{~3}{~2}t\cos2t+2\sin t\cos\frac{~3}{~2}t-2\sin2t\sin\frac
{~3}{~2}t{/tex}
det(
det(
donc colinéaires
c) Pente de
La tangente en est parallèle à , c'est d'ailleurs l'axe
d)
Ce sont les points où la direction de est un des axes
du repère
c'est à dire
Sur on a donc ou ou ou
pour on a le point où la tangente est
pour on obtient le point ou la
tangente est parallèle à Oy
pour on obtient le point ou la
tangente est parallèle à Ox
pour on obtient le point ou la
tangente est parallèle à
courbe de
1) a)
Soit
donc l'ensemble est la droite d'équation
b)
on a avec
on a
donc (1)
d'où est la conique d'excentricité , de foyer et de directrice d'équation :
2) a) axe focal de
on a et perpendiculaire à donc
est un vecteur directeur de
(D) a une équation de la forme comme on a
d'où d'équation
b) , soit ,
Montrons que
On a
donc car vérifie
vérifie
D'autre part , et
d'où et des sommets de
c)
Soit B et les sommets situés sur l'axe non focal on a au cercle de centre et de rayon et . vérifie la même chose
donc et sont les intersections de ce cercle avec .
1) On considère l'équation différentielle
On pose g(x) = , f étant une fonction numérique
dérivable sur .
a) Montrons que f est solution de si et seulement si g'(x) =
On suppose que f est solution de , montrons que
g'(x) = e
Donc
d'où g'(x) =
On suppose que g'(x) =
montrons que fest solution de .
g'(x)= e
donc
f est alors solution de .
b)
Déterminons la solution générale de .
on a est solution de si et seulement si g'(x) =
g'(x) = ,donc g(x) = ln
or f(x) = e
donc f(x) = ln
Déterminons la solution de (E) qui s'annule en 0.
f(0) = 0 donne ln2 + c = 0, donc c= - ln
la solution qui s'annule en 0 est f(x) = ln
f(x) =
2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, on
considère la courbe ( d'équations paramétriques
a) comparons
donc MM
comparons
M=
où est la première bissectrice
donc M et M sont symétriques par rapport à la
symétrie orthogonal d'axe la première bissectrice.
b) pour tout , (M)=
) , donc la symétrie orthogonanle d'axe la première
bissectrice conserve
on a vu que donc, on peut étudier sur un
intervalle de longueur , et obtenir toute la courbe
On a également un axe de symétrie pour (, ce qui
permet de réduire l'étude de ( à un intervalle de
longueur , soit
d'où pour construire , il suffit d'étudier x et y dans
c) tableau de variations des fonctions x et y dans .
la fonction est dérivable sur et on a :
la fonction est dérivable sur et on a :
Courbe de (:
On construit pour appartenant à
puis on utilise la symétrie par rapport à pour compléter la courbe.
EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33