1. A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), E(0, 0, 1), F(1, 1, 0), G(1, 1, 1), H(1, 0, 1)
a. Le vecteur a pour coordonnées (-1, 1, 0) c’est à dire
Le vecteur a pour coordonnées (0, 1, 1) c’est à dire
Donc . Les coordonnées de sont (1, 1,-1).
b. Le plan (BGD) peut être défini comme le plan passant par B et de vecteur normal
. Un point P de coordonnées (x, z, y) appartient donc à ce plan si et seulement si c’est à dire 1(x - 1) + 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0 ou x + y - z - 1 = 0.
Cette dernière équation est donc une équation cartésienne de (BGD).
c. On a qui est normal au plan (BGD), donc la droite (EC) est bien perpendiculaire au plan (BGD).
2. La distance du point C au plan (BGE) est .
Un point P de coordonnées (x, z, y) appartient donc à la sphère S si et seulement si c’est à dire
. Cette dernière équation est donc une équation cartésienne de S.
3. A tout appartenant à l’intervalle [0, 1] on associe le point M de coordonnées .
a. Pour que M soit un point du segment [EC], il faut et il suffit qu’il soit barycentre de ces deux points avec des poids positifs de somme 1.
cherchons donc tel que c'est à dire
Donc .
b. Les points E et C appartiennent au plan médiateur du segment [BD] ; donc ce plan contient la droite (EC) et partant le point M : MBD est un triangle isocèle en M. La distance
de M à cette droite est donc égale à MO,O étant le milieu de [BD]. Les coordonnées de O sont (1/2, 1/2, 0).
c.
Pour que la distance de M à la droite (BD) soit mini-
male il faut et il suffit que la fonction d ait un minimum.
. Voici le tableau de variations de d.
Pour que la distance soit minimale il faut et il suffit que
soit égal à 2/3.
La distance minimale est alors égale à et les coordonnées de L sont
d. Le centre de gravité du triangle BGD a pour coordonnées
coordonnées de L.
Le centre de gravit´e de BGD est bien L.
4. a. Soit P un point de coordonnées (x, y, z) et P' un point de coordonnées (x', y', z').
Ce dernier système est l’expression analytique de h.
b. Posons h(C) = C'. D’après la question précédente, C' a pour coordonnées :
= coordonnées de M;
donc M = C' = h(C).
c. S' est la sphère de centre h(C) = M et de rayon |k|r. Un point P de coordonnées (x, z, y) appartient donc à la sphère S' si et seulement si c’est à dire .
Cette dernière équation est donc une équation cartésienne de S'.
1. appartient C car la droite (OM) est un axe de symétrie de ce cercle. De plus
C appartient C et .
Il vient :
Donc . et C sont bien symétriques par rapport à O.
2. a. et
b. ; donc N est le quatrième sommet du parallèlogramme dont trois points consècutifs sont B,O et A.
; donc H est le quatrième sommet du parallèlogramme dont trois points consècutifs sont C,O et N.
3. est différent de signifie que z est différent de i et de -i
Alors b = iz différent de 1 (et de -1) ; A et B sont donc distincts.
De même différent de 1 (et de -1) ; A et C sont donc distincts.
Enfin b - c est différent de 0 (et de -2) ; par conséquent B et C sont distincts.
et
Ensuite :
On en déduit que les angles et sont droits ; H est donc l’intersection des hauteurs c’est à dire l’orthocentre du triangle ABC.
a. Le discriminant de l’équation est . Les racines de l’équation sont donc
et
Le centre de gravité G du triangle ABC est .
Pour que H coincide avec G il faut et il su?t que 1 + b + c soit égale à c’est à dire que 1 + b+ c = 0 ou {tex}z^{2}
- iz -1 = 0{/tex}. Donc H coincide avec G si et seulement si ou
4. Puisque l’affxe z s’écrit , celle de H s’écrit :
Donc H est le point de H de paramètre .
1.
2. appartient bien à la sphère de diamètre car le triangle est rectangle en .
3. Puisque appartient au cercle de diamètre , est perpendiculaire à
De plus, étant perpendiculaire au plan est orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier à
La droite étant orthogonale à et , est orthogonale au plan défini par ces deux droites.
On en déduit que est orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier à
Comme par hypothèse est perpendiculaire à , est orthogonale au plan défini par les deux droites et .
4. étant orthogonale au plan est orthogonale à et par hypothèse est perpendiculaire à ; par conséquent est le plan passant par et perpendiculaire à la droite c'est à dire : appartient bien à .
appartient à par hypothèse.
5. a. appartient à car le triangle est rectangle en .
D'après la question 2, appartient à .
Donc l'intersection de et de est le cercle passant par les points et , lequel est le cercle de diamètre . En effet étant perpendiculaire au plan est orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier à
b. appartenant à et à appartient à leur intersection .
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