Partie A
1. Résolution l’équation différentielle y^\prime + y = 0.
- On peut énoncer directement le résultat car cela a été fait en cours : la solution générale de l’équation différentielle est appartenant à .
- On peut dire que l’on a une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants dont l’équation caractéristique est r + 1 = 0. La solution de cette équation caractéristique est r0 = -1. Par conséquent la solution générale de l’équation différentielle est y = ker0x, k appartenant à .
- On peut faire un calcul direct. La fonction nulle est solution de l’équation différentielle.
Une solution qui ne s’annule pas en un point donné, ne s’annulera pas dans un intervalle ouvert contenant ce point. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle gardera un signe constant dans cet intervalle.
Dans cet intervalle, l’équation différentielle est alors équivalente à
soit ln |y| = -x + c, c constante réelle. On a donc puis avec k = ou selon le signe de y.
Finalement, la solution générale de l’équation différentielle est appartenant à .
2. a. g, produit des deux applications dérivables sur est aussi dérivable sur
; c’est à dire . Alors
b. On peut remarquer que est la dérivée de .
Sinon, on peut faire un calcul direct. On a pour tout réel x > 0 :
Une intégration par parties donne :
Par conséquent,
et l’ensemble des primitives de la fonction
3. D’après la question précédente, pour qu’une application vérifie (1) il faut et il suffit que l’application g soit une primitive de h.
g est donc de la forme , autrement dit
L’ensemble des applications dérivables de dans vérifiant (1) est l’ensemble des applications où a désigne une constante réelle.
Partie B (5.25 points)
Soit f l’application de dans définie par : .
1. Remarquons d’abord que f est une solution de l’équation différentielle (1) avec a = e
a. f est dérivable sur et . La dérivée est strictement négative ; f est donc strictement décroissante. et . Voici le graphe de f.
f est continue et strictement décroissante et comme , l’équation f(x) = 0 admet une solution unique c dans
est , donc .
b. Pour tout
donc
c.
Si on pose u(t) = t, une intégration par parties donne :
Finalement .
De on tire
2. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
a. Pour tout entier k tel que et pour tout réel t tel que
on a .
Cela vient simplement du fait que f est strictement décroissante.
b. En intégrant la relation précédente dans l’intervalle
dont la longueur est
on obtient :
Ensuite on somme de k = 1 à k = n - 1 :
Dans le premier membre de l’inégalité, on change la numérotation (on remplace k + 1 par k), dans le second membre, on utilise la relation de Chasles
C’est à dire, en posant :
Ce qui permet d’encadrer :
3. a. On déduit des questions préecédentes que et .
Alors l’encadrement de et le théorème des gendarmes entraînent que la suite est convergente et de limite e.
b. Posons
est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raison .
Donc
et
Ensuite
et
c. On a . Autrement dit
On sait que . Par conséquent, en prenant on a et
La suite , somme de deux suites convergentes de limites respectives e - 1 et -e, est convergente et de limite e - 1 - e = -1 :
On a autrement dit . La suite est donc convergente et de limite
Partie C
1. a. La fonction f^\prime est dérivable sur est strictement
positive ; f^\prime est donc strictement croissante sur
+ et donc aussi sur [1, 2]. f^\prime(1) = -2 et f^\prime(2)=\frac{1}{e}-\frac{1}{2}.
La fonction P est dérivable sur [1, 2] et .
Puisque f^\prime est strictement croissante, f^\prime(1)-f^\prime(x) est < 0 ; comme f^\prime(1) = -2 est aussi < 0, la dérivée P^\prime est donc strictement positive ; P est alors strictement croissante sur [1, 2]. P(1) = et
P(c) = c. Voici le tableau de variation de P dans [1, c].
Ainsi, P réalise une bijection de [1, c] sur l’ intervalle J = [1/2, c] contenu dans [1, c].
Montrons alors par récurrence que la suite est bien définie et est contenue dans l’intervalle
[1, c].
existe et appartient à [1, c]. Supposons que pour un entier n donné, existe et appartient à [1, c]. Alors existe aussi et appartient à .
2. a. La fonction P^\prime est d´erivable sur
est donc strictement croissante.
Alors, pour tout , on a
b. En appliquant le théorème des accroissements finis à P dans l’intervalle , on peut affirmer l’existence d’un élèment dans tel que c’est dire .
Ce qui entraîne .
Cette relation entraîne ensuite . Comme le dernier membre a
pour limite 0 quand n tend vers , par le théorème des gendarmes, le membre a aussi pour limite 0. Autrement dit
c. Pour que soit une valeur approchée de c à il suffit de choisir n tel que
.
Comme , il suffit que c’est à dire ou encore . On peut donc prendre n = E(r)+1 avec c’est à dire n = 9.
Partie A
1. a.
La fonction est définie et continue sur .
Elle est dérivable et
Voici son tableau de variations.
On y voit clairement que le maximum de est -1 donc
Remarquer qu’on n’a pas besoin des limites de aux bornes de son ensemble de définition.
b. L’application est dérivable sur . La dérivé étant strictement positive, la fonction fn et strictement croissante.
.
Par conséquent, réalise une bijection de sur , et l’équation ( c’est
à dire l’équation ) admet une solution unique ( dépendant naturellement n).
d’après le a.
Ainsi , donc appartient à ]ln(n/2), ln\,n[
c. La relation entraînent .
De on tire :
- En divisant par n,
et comme les suites minorante et majorante ont 0 comme limite commune, le théorème des gendarmes permet d’écrire .
- En divisant par et comme les suites minorante et majorante (suite constante) ont 1 comme limite commune, le théorème des gendarmes permet d’écrire .
d. Pour n = 1, on , donc .
2. a. On a, en suivant la remarque
Le premier facteur a pour limite 1 et le deuxième facteur, compte tenu du fait que a aussi pour limite 1. Donc
Comme a pour limite 1, on a bien
b. On a et en suivant la remarque
.
la relation et la stricte croissance de l’application entraînent ; la suite est donc strictement croissante.
c.
Puisque l’application fn est croissante, on a pour tout t appartenant à ,
c’est à dire puis par intégration
.
comme les suites minorante (suite constante égale à 0) et majorante ont 0 comme limite
commune, le théorème des gendarmes permet d’écrire
3. a. La fonction est définie, continue et dérivable sur son ensemble de définition . Sa dérivé est l’application , elle vaut 1 au point 0. Donc
. En posant
,
on bien pour tout h appartenant à D.
b. On sait d’après le résultat de la question 1 que a pour limite 1, donc a pour limite 0.
On déduit de et en suivant la remarque :
Puisque la suite a pour limite 0, on peut écrire, d’après la question précédente : étant une suite ayant pour limite 0.
Partie B
1. a.
On a d’après l’indication de la première partie, c'est à dire . est un point fixe de g.
Or g est dérivable dans
. La dérivée de g étant < 0, g est strictement décroissante ; donc est le seul point fixe de g.
.
.
Puisque sont de signe contraire, appartient à ]a, b[
b. On a déjà montré que g est dérivable sur I et
Alors .
L’application est dérivable sur I et sa dérivée
est > 0 sur I. est donc croissante. Par conséquent
c'est à dire
Voici le théorème appelé Inégalité des accroissements finis qui permet d’en déduire que
.
Soit une application définie sur un intervalle J = [u, v] à valeurs dans .
On suppose que est continue sur J, dérivable sur ]u, v[ et il existe un réel vérifiant
Alors
.
c. g étant continue et décroissante, g([a, b]) = [g(b), g(a)] = [a, g(a)].
Pour que , il suffit que c’est à dire , ce que montre un calcul direct (on trouve
2. a. Pour répondre à la question, puisque I est contenu dans l’ensemble de définition de g,
il suffit de démontrer par récurrence la propriété .
existe et est donc vraie.
Si est vraie pour un entier donné n alors an existe et
est donc vraie.
b. Démontrons par récurrence la propriété .
On a est donc vraie.
Si est vraie pour un entier donné n, on a :
est donc vraie.
est < 1 donc et la propriété et le théorème des
gendarmes entrainent .
La suite est donc convergente et de limite u2.
c. Pour que an soit une valeur approchée de , il suffit que soit
c’est à dire . On peut donc prendre
3. Voir la figure 2.
Partie A
1. a. la fonction f est définie et continue sur [0, 1[. Elle est dérivable dans cet intervalle et
La dérivée, somme de deux réels négatifs dont l’un l’est stricte-
ment, est strictement négative. f(0) = 1 et -.
Voici le tableau de variation de f.
La fonction f est strictement décroissante et envoie l’intervalle [0, 1[ sur l’intervalle
qui contient 0, donc l’équation f(x) = 0 a une solution unique .
b. f(1/2) = 3/4 - ln 2 > 0 et ; donc d’après le théorème des valeurs
intermédiaires, a appartient à l’intervalle .
2. Posons pour simplifer .
f est deux fois dérivable dans [0, 1[ et
Alors et p et q sont dérivables sur et
et .
image tableau de variation
.
Ces dérivés sont positives.
Voici les tableaux de variation de p et q.
Ces tableaux montrent clairement que et
ce qui entraine bien
3. a. On peut procéder à une IPP en posant u = ln(1-x) et v = 1-x, il vient u' et v' = -1 puis
Il est probable que le candidat fasse le changement de variable 1 - x = u pour se ramener . Il peut aussi faire une IPP en posant u = ln(1 - x) et v'= 1 et s’il choisit v = x, il devra trouver une primitive de en procédant à une réduction en élèments simples
. Donc
avec
Lorsque t tend vers , (1- t) ln(1- t) a pour limite 0, donc
avec
Partie B
1. a. La tangente en A à a pour équation y = h'(a)(x - a) + h(a). l’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses a pour ordonnée 0, son abscisse x est donc telle qu
h'(a)(x - a) + h(a) = 0 c’est à dire
b. T, rapport de deux fonctions dérivables, est dérivable et
T' est donc positive sur J.
Mais est car le rapport h/h' est ; donc
Voici le tableau de variation de T.
2. a. Montrons que la suite est bien définie et contenue dans J donc bornée. Par récurrence. = v existe et appartient à J.
Si la propriété est vraie pour un rang n donné, c’est à dire si existe et appartient à J, alors existe et appartient bien à J car T(J) est contenu dans J. Donc la propriété est vraie au rang suivant n + 1.
b. est
car le rapport h/h' est ; donc la suite est décroissante.
Comme elle est minorée par u, elle converge vers un réel .
Puisque on obtient par passage à la limite T(l) = l c’est à dire
ou h(l)=0. Comme u est l’unique zéro de h, l = u. .
Partie C
1.a. G(a) = 0.
b. G(b) = 0 est équivalent à :
c'est à dire .
2.a. La fonction G satisfait aux hypothèses du théorème des accroissements finis dans l'intervalle [a,b] ; donc il existe un réel c dans l'intervalle ]a,b[ tel que c'est à dire .
b. On a pour tout x dans [a,b], .
est donc équivalent à c'est à dire
ou
enfin
3.a. D'après les calculs faits dans la première partie, la fonction f satisfait bien dans l'intervalle aux hypothèses faites sur h.
b. Pour tout entier naturel n, cette même fonction f satisfait, dans l'intervalle , aux hypothèses faites sur g. On a donc :
tel que
4. Pour obtenir la relation
il suffit de se rappeler que et de diviser la relation par le réel non nul .
D'après la première partie, puisque et appartiennent à et entraîne
5. Si on pose , la relation se traduit par
Montrons que . Par récurrence.
Cette propriété est vrai au rang 0 car à ce rang elle signifie
Si elle est vraie pour un rang donné n c'est à dire si , alors
Elle est donc vraie qu rang suivant n + 1.
6. Pour tout entier naturel n on a les implications suivantes :
car
Partie A
1. a.
La fonction est définie, continue et dérivable sur et
La dérivée s’annule au point 1 et est > 0 si et seulement si x > 1. Voici le tableau de variations de
On y voit nettement que la fonction est positive ; donc
Soit x un réel > 0 et k un entier naturel non nul. Dans la relation précédente, en remplaçant x par , on a puis par intégration :
b. En sommant les relations précédentes de k = 1 à k = n on a :
puis
ensuite, avec la relation de Chasles :
ou
c. Comme est une primitive de (résultat que l’on obtient par intégration par parties),
c'est à dire
2. a.
La fonction g est définie, continue et dérivable sur [0, 1[ et
Voici le tableau de variations de g.
b.
- Pour tout x dans ]0, 1[, la fonction h est continue sur [0, x], dérivable sur ]0, x[ et pour tout . D’après le théorème des accroissements finis, il existe un réel c dans l’intervalle ]0, x[ tel que c’est à dire ou f(x) = g(c).
Mais puisque la fonction g est croissante ; donc .
- Si on veut utiliser la valeur moyenne de g on peut dire : La fonction g étant continue,, valeur moyenne de g sur [0, x] est une valeur de g ; il existe donc c dans [0, x] tel que .
La fonction g étant continue, sa limite en 0 est g(0) = 1. Alors les inégalités et le théorème des gendarmes entraînent que f aussi a pour limite 1 = f(0) quand x tend vers 0 et donc oui ! f est continue en 0.
c. Pour montrer qu’il existe deux réels a et b tels que , il suffit de réduire au même dénominateur et d’identifier les numérateurs. On trouve puis
On en déduit par intégration que
3. a. Un calcul direct montre que
Puisque pour tout x de [0, 1[, f(x) est , cette dernière relation entraine que est ; la suite ) est donc décroissante.
b.
c. La suite étant décroissante et minorée est convergente.
Partie B
1. a.
est puisque intégrale d’une fonction continue
est = puisque intégrale d’une fonction . La suite est donc décroissante.
b. Pour tout entier naturel n, en posant et , on a et on peut prendre v = - cos t ; une intégration par parties donne alors :
Ce qui entraîne bien
c. On a pour tout entier naturel n :
Puisque a pour limite 1 quand n tend vers , le théorème des gendarmes appliqué à la relation permet d’affirmer que
d. = ; la suite est donc constante. Cette constante est égale à
e. .
Comme la suite est constante égale à , la relation précédente s’écrit aussi :
.
2. Pour tout entier naturel n, on pose
a. n avec . et puisque la suite a pour limite , on peut écrire d’après les indications de l’énoncé :
b. Pour tout entier naturel n, appelons la propriété :
, est donc vraie.
Supposons vraie pour un entier donné n.
Alors, avec la relation (E) on peut écrire :
est donc vraie.
3. a. Pour tout entier n on a : .
b. Pour tout entier n on a :
La constante A demandée vaut donc
On en déduit que a pour limite .
Mais si l est la limite de alors a aussi pour limite .
Par conséquent c’est à dire et a pour limite
Partie A
1. Un réel appartient à l'ensemble de ssi et ; donc
Un réel non nul de est contenu dans un intervalle ne contenant pas
Dans un tel intervalle, la fonction est le produit des fonctions continues ; la fonction est donc continue sur et en particulier au point
Pour étudier la continuité de au point , on peut écrire :
la fonction est donc continue sur
2.a. Pour tout élément de et tout on a :
Pour tout élément de et tout on a :
b. On a par réduction au même dénominateur :
On en déduit pour tout dans et par intégration :
i.e
enfin en divisant par s'il est non nul :
c. On déduit des questions précédentes que le taux d'accroissement de en s'écrit :
La deuxième relation de la question s'écrit aussi
: .
et on en déduit en divisant par : .
Puisque la fonction fonction a pour limite quand tend vers , le théorème des gendarmes permet de dire que .
Par conséquent,
, est dérivable au point et
La tangente à au point d'abscisse a pour équation
i.e ;
et on a pour tout non nul de : . Donc la courbe est au dessus de sa tangente .
d. Un réel non nul de est contenu dans un intervalle ne contenant pas
Dans un tel intervalle, la fonction est le produit des fonctions dérivables ; la fonction est donc dérivable sur et en particulier au point
Comme on sait déjà que est dérivable au point , on peut conclure que est dérivable sur
3. a. La fonction est dérivable sur et
Voici le tableau de variations de .
On constate d'après le tableau de variations que la fonction est positive dans .
b. La fonction est dérivable sur et
est donc car elle a le même signe que pour
La fonction est alors strictement décroissante dans
Voici le tableau de variations de .
4. Comme la droite d'équation est une asymptote de .
La fonction est décroissante et de limite quand tend vers , par conséquent, elle est strictement positive (Voir aussi son tableau de variation); la courbe est donc au dessus de l'axe des abscisses.
5. Voici la courbe
Partie B
1. La fonction étant décroissante dans on a pour tout et tels que et tout dans l'intervalle ce qui entraine par intégration : i.e
En appliquant cette relation aux réels entier compris entre et on obtient :
puis par sommation :
et la relation de Chasles entraine
soit
finalement
L'aire demandée est donc comprise entre et
Le logiciel Texgraph donne
2. a. Pour tout strictement positif on a :
b. Soit un réel strictement positif. En intégrant la relation précédente on obtient :
i.e
Or quand tend vers a pour limite donc
3.a. La fonction est strictement croissante dans car sa dérivée est strictement positive dans cet intervalle; donc avec et .
Par conséquent, on a bien .
b. Si appartient à , alors et multipliant par le réel strictement négatif on obtient
Soit un élément de .
La relation s'écrit
et en l'intégrant on obtient :
La fonction est donc bien majorée (par exemple par .
c. Pour tout entier naturel non nul on a :
est positive car est positive dans ; donc la suite est croissante.
La suite est donc majoré (par exemple par ); et comme elle est croissante, elle converge.
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