Partie A
1.a. .
La fonction est définie, continue et dérivable sur I et de dérivée , fonction strictement négative.
et .
Voici le tableau de variations de
image
La fonction est définie, continue et dérivable sur I et de dérivée .
la dérivée est si et seulement si c'est à dire et elle s'annule seulement si x= e.
et .
Voici le talbeau de variations de
b.
et seulement si x=e
Donc dans l'intervalle est au dessous de et dans l'intervalle est au dessus de
Voici les courbes et
2. L'aire demandée vaut en unités d'aire
a pour primitives dans I,.
Pour tout avec u = lnx
Donc a pour primitives dans I, .
Partie B
1.a. Appelons la propriété " est dérivable sur I"
Nous savons déjà que est dérivable sur est donc vraie.
Supposons varie pour un entier n donné, c'est à dire est dérivable sur I.
Alors l'application est dérvable sur I et de dérivé ; par conséquent , produit de et de g est dérivable sur I ; est donc vraie.
b. D'après le a, pour tout entier naturel n, est dérivable sur est donc vraie.
2.a. Soit s un élèment de I.
En intégrant la relation de la question précédente , on obtient
c'est à dire
ou, puisque
b. Soit p un entier naturel non nul et s un élèment de I.
En sommant la relation précédente de 0 à p-1 on obtient
c'est à dire
ou, en ajoutant aux deux membres
3.a. Pour tout entier naturel non nul n, appelons la propriété
Nous savons déjà que ; est donc vrais.
Supposons vraie pour un entier non nul n donné, c'est à dire
Alors .
Mais pour tout t dans s'écrit avec v = lnt, l'application
est donc une primitive
Par conséquent est donc vraie.
b. Pour tout x dans ,on a puisque la fonction ln est croissante : , donc
On en déduit que
Puisque , le théorème des gendarmes permet de conclure que
c. De la question 2, on tire en remplacant x par e :
et en faisant tendre p vers
soit en remplaçant par et sachant que
Et en multipliant par e :
Partie A
1)
a) La fonction est continue sur donc elle y admet des primitives. Soit L l'un d'entre elles.
Donc ,
_ donc H est définie sur , et dérivable sur .
b)
Ainsi
or et d'où
Ainsi ,
avec
2) a) G dérivable sur
F dérivable sur
g dérivable sur
d'où
_ or
On en déduit que
b)
donc
et
entraine
d'où
Partie B
1)a)
d'où
b)
or
c)
donc
2)
a)
b)
c) On a
donc
or
d'où =
or
d'où
Partie A
1)
a) est continue et dérivable sur
(image)
b) g est continue et strictement décroissante sur donc elle d\'{e}finit une bijection de
dans
comme \ il existe un unique réel tel que d'où admet une solution unique dans
l'intervalle .
c)
donc
d'où
d) les variations de indique :
sur
sur
si ou
(image)
on a et
2 )
a) montrons que est impaire
donc si
d'où est impaire
Montrons que est dérivable en
d'où est dérivable en et \textquotedblright
b) est continue et dérivable sur
tableau de variation sur
(image)
c) soit
,h est continue et dérivable sur
tableau de variation
(image)
donc pour tout
d'où pour tout
soit la tangente à en
a pour l'équation
on a pour ,
donc
d'où pour et pour
on en déduit que est en dessous de pour et est au
dessus de pour
On choisit
Partie B
1)
soit
on a f est continue et positive sur donc est l'aire en unit d'aire du domaine D.
soit
f est continue et négative sur donc est l'aire en unit
\'{e} d'aire du domaine .
Par ailleurs et sont symétriques par rapport à d'ou
et sont les aires de deux parties isométriques du
plan .
On en déduit que
Et pour tout c'est \`{a} dire est paire .
Variation de F sur
est l'aire du domaine donc est croissante sur
2) On a pour ,
3) pour
on a et
donc pour on a
4)
\ \
on a \
pour
Or
donc
Or
donc
Or
d' où
donc
Or
d'où
2)
Soit avec
a)
Montrer que G dérivable sur
dérivable sur et la valeurs dans
or x F(x) dérivable sur
donc par composition dérivable sur
Calcul de
''
' avec
donc '
donc
avec
donc soit
b)
donc
ainsi
d' où
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