1) Etudions le signe de
On établit un tableau de signe
On voit donc que si
On a f(x) existe si et seulement si d'où :
2) Déterminons les limites de f aux bornes de
car
et
donc
car
et
car
et
car
et
donc
Etablissons le tableau de variations de f
f est dérivable sur car composée de fonctions dérivables et pour tout on a :
Or pour tout f'(x) > 0, d'où f est strictement croissante
3)
a) Vérifions que la droite () : y = x - 1 est asymptote à ().
On sait que donc
or
donc d'où la droite () : y = x - 1 est asymptote à ().
b) Etudions la position de () par rapport à (). Il suffit pour cela d'étudier le signe de f(x) - (x - 1).
On sait que pour tout , .
Etudions donc le signe de pour tout .
Pour tout
Soit soit x + 1 < 0 soit x < -1.
Ainsi si x < -1 on a f(x)-(x-1) > 0 donc () est au dessus ().
4)
a) Déterminons les autres asymptotes.
Comme et , on en déduit que les droites d'équations x = -1 et x = 1 sont les autres asymptotes de ().
b) Montrons que I(0;-1) est centre de symétrie de ().
Il suffit de montrer que f(x) + f(-x) = - 2 pour tout .
Or on a pour tout .
Aussi I(0;-1) est bien centre de symétrie de ().
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