c’est `a dire
.
1. Elle a une racine double égale à -1. Par conséquent la solution générale de est :
; a et b réels arbitraires.
2. Pour que la fonction soit solution de
) il faut et il suffit que
(1)
Or et
. Donc l’équation devient :
c’est `a dire ou
. Donc
et
. Finalement
3. - Soit g une solution de (E') c’est `a dire une fonction telle que :
(2)
En faisant la différence membre à membre de (2) et (1) on trouve :
c’est `a dire (3)
Ce qui montre que la fonction g - h est solution de (E).
- Réciproquement g - h est solution de (E) est équivalent à (3) soit à :
(4)
Or d’après (1) le second membre de cette relation vaut x + 3. donc (4) est équivalent à
Autrement dit g est solution de (E').
4. La fonction k est continue sur son ensemble de définition qui est égal à
; de plus
et
s’annule au point -1 et est > 0 si et seulement si
c’est à dire
.
Pour que le point soit un point d’inflexion de la courbe
il suffit que k soit deux fois dérivable et qu’au point 0,
”s’annule en changeant de signe”.
Cela est bien le cas puisque s’annule au point 0, est > 0 ”après 0” et négatif ”avant 0”.
Voici le tableau de variations de k.
T.V de
et voici la courbe représentative de k
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