A) 1. Soit
En intégrant par parties , on obtinet :
(0,5 pt)
D'où (0,25 pt)
2. k étant une fonction dérivable sur , soit h telle que h(x) =
a) Si h vérifie la condition alors on a :
d'où
. (0,5pt)
b) Déduisons-en h. Puisque .
D'après 1) I est une primitive de , donc
, avec c une constante.
or h(o) = 2 nous donne k(0) = 2 donc c = 2. Ainsi
(0,25 pt)
D'où
(0,25 pt)
B) I) 1. Etude des variations de la fonction g, définie par
, sur
.
Domaine de définition de g :
g étant définie partout dans , d'où
Continuité et dérivabilité :
- La fonction est continue et dérivable sur
, de
même que la fonction . Par composée, la fonction
est continue et dérivable sur
,
- Par somme g est continue et dérivable sur
Calcul de
D'où pour tout x
et
pour tout x< 0.
Tableau de variation de g :
2. d'après le tableau de variation de g, ce qui implique g est strictement positif
II) .
1. Les variations de la fonction f :
-
- ,
- f est continue et dérivable sur par composée
- Dérivée :
- Sens de variation de f :
a le même signe que
.
si
,
si
.
-Tableau de variation
2. ,
a) . D'une part, la fonction ln étant croissant et
, d'où
, donc
(1).
D'autre part,
Or si x > 0 alors , d'où
, ainsi
, donc
(2)
(1) et (2) donnent :
.
b) ,
donc 0 < , d'où d'après le théorème des gendarmes
3.a) Démontrons que .
On sait que .
Cherchons le signe de .
On a , et elle s'annule en -2
m étant décroissante sur et croissante sur
alors m admet un minimum en -2 et m(-2)=.
Donc pour tout x, m(x) > 0. Ainsi donc
b) D'après a) . Or
. Donc
admet une asymptote oblique , d'équation y = -x au voisinage de
Position de par rapport à
:
Cherchons le signe de .
si
.
Alors voisinage de ,
=
.
Donc admet une branche infinie de direction l'axe (Ox).
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