Corrigé 2015 :

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SVT

Corrigé 1998 : Familles radioactives

Terminale S1 et S3

Corrigé 2015 :

Détails: Catégorie : Mécanique

3.1.1 Système : projectile ; Référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces : $\overrightarrow{P}$ poids du projectile.

Thèoreme du centre d inertie : $\overrightarrow{P}=m.\overrightarrow{a}$ or

$\overrightarrow{P}=m.\overrightarrow{g}\Rightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow {g}\Rightarrow\left\{\begin{array}{ccc}a_x&=&0\\a_y&=&-g\end{array}\right.$

3.1.2 Les composantes de la vitesse :

$\overrightarrow{V}\left\{\begin{array}{ccc}V_x&=&V_{0}.cos\alpha\\V_y&=&-g.t+V_{0}.sin\alpha\end{array}\right.$

Les composantes du vecteur position: $\overrightarrow{OM}\left\{\begin{array}{ccc}x&=&V_{0}.cos\alpha t\\y&=&-\frac{g}{2}.t^{2}+V_{0}.sin\alpha t+H\end{array}\right.$

3.1.3

a) Expression du temps de vol $t_1$ : au point C on a $x = D\Rightarrow D=V_{0}.cos\alpha. t_{1}=\frac{D}{V_{0}cos\alpha}$ .

b) Expression de $V_0$ : au point C on a x = D et Y = 0

$y=\frac{g}{2V_{0}^2.cos\alpha^{2}}\times 2+x.tan\alpha +H\Rightarrow-\frac{g}{2V_ {0}.cos\alpha^{2}}D^{2}+D.tan\alpha +H=0\Rightarrow V_{0}^2=\frac{g}{2V_{0}^2.cos\alpha^ {2}(Dtan\alpha+H)}D_2$

$V_{0}=D\ast|\frac{\overline{g}}{2V_{0}^2.cos\alpha^{2}(D\ast tan\alpha+H)}$

A.N : $V_{0}=101ms^{-1}$

c) Expression de $h_m$ : si $h=h_m$ on a $V_{y}=0\Rightarrow -g.t+V_ {0}.sin\alpha=0\Rightarrow t=\frac{V_{0}.sin\alpha}{g}$

$y=-\frac{g}{2}.t^{2}+V_{0}.sin\alpha .t+H\Rightarrow h_{m}=-\frac{g}{2}.\left(\frac{V_ {0}.sin\alpha}{g}\right)^{2}+V_{0}.sin\alpha .\frac{V_{0}.sin\alpha}{g}+H=\frac{V_{0}^{2}.sin^ {2}\alpha}{2.g}+H$

or $V_{0}^{2}=\frac{g}{2cos^{2}\alpha(Dtan\alpha+H)}D^{2}\Rightarrow$ on tire : $h_{m}=\frac{D^{2}tan^{2}\alpha}{4(D\ast tan\alpha+H)}+H$

3.2.1 Expressions de $d_1$ et $d_2$ : $y = \frac{g}{2V^{\prime^{2}}_{0}cos\alpha^{2}}\times 2+x.tan\alpha$

Au sol : $y =0\Rightarrow\frac{g}{2V^{\prime 2}_{0}cos\alpha^{2}}\times 2+x.tan\alpha\Rightarrow x=\frac{2V^{\prime 2}_{0}sin2\alpha}{g}\Rightarrow\left\{\begin{array}{lll}x_{1}&=&\frac{2V^{\prime 2}_{0}sin2\alpha_{1}}{g}\\x_{2}&=&\frac{2V_{0}^{2}sin2\alpha_{2}}{g}\end{array}\right.$

$x_{1}=D-\frac{L}{2}=D-d_{1}\Rightarrow d_{1}=D-x_{1}\Rightarrow d_{1}=D-\frac{V^{\prime 2}_{0}sin2\alpha_{1}}{g}$

$x_{2}=D+\frac{L}{2}=D-d_{2}\Rightarrow d_{2}=D-x_{1}\Rightarrow d_{2}=D-\frac{V^{\prime 2}_{0}sin2\alpha_{2}}{g}-D$

3.2.2 Déduction de la relation : $D=\frac{V^{\prime^{2}}_{0}(sin2\alpha_{1}+sin2\alpha_{2})}{2g}$

$d_{1}=D-\frac{V^{\prime^{2}}_{0}.sin2\alpha_{1}}{g}$ et

$d_{2}=\frac{V^{\prime^{2}}_{0}.sin2\alpha_{2}}{g}-D\Rightarrow d_{2}-d_{1}=\frac{V^{\prime^{2}}_{0}.sin2\alpha_{2}}{g}-D-D+\frac{V^{\prime^{2}}_{0}.sin2\alpha_{1}}{g}$

or $d_{2}=d_{2}\Rightarrow\frac{V^{\prime^{2}}_{0}.sin2\alpha_{2}}{g}-2D+\frac{V^{\prime^{2}}_{0}.sin2\alpha_{1}}{g}=0\Rightarrow 2D=\frac{V^{\prime^{2}}_{0}}{g}(sin2\alpha_{1}+sin2\alpha_{2})$

$\Rightarrow D=\frac{V^{\prime^{2}}_{0}}{2g}(sin2\alpha_{1}+sin2\alpha_{2})$

3.2.3. L'angle $\theta$ :

La portée est donnée par : $x_{sol}=D-\frac{V^{\prime^{2}}_{0}.sin2\theta_{1}}{g}=D\Rightarrow sin2\theta=\frac{g}{V^{\prime^{2}}_{0}}\ast\frac{V^{\prime^{2}}_{0}}{2g}(sin2\alpha_{1}+sin2\alpha_{2})$ .

$\Rightarrow sin2\theta=\frac{sin2\alpha_{1}+sin2\alpha_{2}}{2}$ A.N : $2\theta=69^{\degres}\Rightarrow\theta=34,5^{\degres}$

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