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Corrigé Epreuve 2007: droite de régression

Terminale S1 et S3

2017 :

Détails: Catégorie : Géométrie dans l'espace

ABCEDFGH est un cube d’arête 1. On rapporte l’espace au rep`ere orthonormé direct $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ .

1. a. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BD}\wedge\overrightarrow{BG}$ . 0.5 pt

b. En déduire une équation cartésienne du plan (BGD). 0.5 pt

c. Vérifier que la droite (EC) est orthogonale au plan (BGD). 0.5 pt

2. Donner une équation de la sphère (S) de centre C et tangente au plan (BGD). 0.5 pt

3. A tout $\alpha$ appartenant à l’intervalle [0, 1] on associe le point M de coordonnées $\alpha,\alpha,1-\alpha$ .

a. Montrer que M est un point du segment [EC]. 0.5 pt

b. Montrer que la distance du point M à la droite (BD) est égale à $\sqrt{3\alpha^2-4\alpha+\frac{3}{2}}$ 0.75 pt

c. Déterminer $\alpha$ pour que la distance de M à la droite (BD) soit minimale. 0.25 pt

Soit L le point associé à cette valeur de $\alpha$ .

d. Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BGD. 0.25 pt

4. Soit h l’homothétie de centre E et de rapport k ? [0, 1].

a. Donner l’expression analytique de h. 0.5 pt

b. Vérifier que h(C) = M. 0.25 pt

c. Déterminer une équation de (S') image de (S) par h. 0.5 pt

2015 :

Détails: Catégorie : Géométrie dans l'espace

O et A sont deux points distincts du plan euclidien orienté. (C) est le cercle de centre O et de rayon OA. M est un point de (C). On pose $\theta=\big(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OM}\big)$ On note B et C les points de (C) tels que $\big(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}\big)=\theta+\frac{\pi}{2}$ et $\big(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}\big)=2\theta+\pi[2\pi]$ .

1. On note A' le symétrique de A par rapport à la droite (OM). Montrer que A' et C sont symétriques par rapport à O. En déduire une construction de C. Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure. 2 × 0.25 pt

On prend OA comme unité et on pose $\big(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}\big)$ . Soit $\overrightarrow{v}$ le vecteur tel que $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ soit un repère orthonormé direct. Dans la suite le plan est supposé rapporté à ce repère.

On note z, b et c les affixes respectives des points M,B et C.

2. a. Ecrire z, b et c sous forme exponentielle puis vérifier que b = iz et c = - $z^2$ . 0.75 pt

Soit H le point d’affixe h = 1 + b + c.

b. Soit N le point d’affixe 1 + b. Construire N puis déduire une construction de H. 2 × 0.25 pt

3. Désormais on suppose que $\theta\ne\frac{\pi}{2}[\pi]$ .

a. Justifier que les points A,B et C sont distincts deux à deux.

Montrer que $\frac{z_{\overrightarrow{AH}}}{z_{\overrightarrow{CB}}}=\frac{1+iz}{1-iz}$ . Vérifier que
$\frac{1+iz}{1-iz}$ est un imaginaire pur. En déduire que H est l’orthocentre du triangle ABC. 1 pt

b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{2}-iz-1=0$ . On donnera les solutions sous forme exponentielle.

Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangle ABC en fonction de b et c.

En déduire les valeurs de $\theta$ pour que H soit le centre de gravité du triangle ABC. Quelle est alors la nature du triangle ABC ? 4 × 0.25 pt

4. Vérifier que lorsque le point M décrit le cercle (C) privé des points d’affixes i et -i, le point H appartient à la courbe (H) d’équations paramétriques :

$\left\{\begin{array}{lll}x(t)&=&1 - sin t - cos 2t\\y(t)&=&cos t - sin2t\end{array}\right.$ 0.25 pt

2013

Détails: Catégorie : Géométrie dans l'espace

Dans un plan $\mathcal P$ de l'espace, on considère un cercle $\mathcal C$ de diamètre $[AB]$ .

Soit $(\Delta)$ la droite passant par $A$ et orthogonale à $\mathcal P$ et $S$ un point de $(\Delta)$ distinct de $A$ .

On note $I$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BS)$ .

Pour tout point $M$ du cercle $\mathcal C$ on note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(MS)$ .

1. Placer les données précédentes sur une figure, $(\Delta)$ étant tracée verticalement.

2. Prouver que $H$ appartient à la sphère $\Sigma$ de diamètre $[AS]$ .

3. Dans cette question, on suppose que $M$ est distinct de $A$ et de $B$ .

Prouver que la droite $(MB)$ est orthogonale au plan $(AMS)$ . En déduire que la droite $(AH)$ est orthogonale au plan $(BMS)$ .

4. Montrer que $H$ appartient au plan $\Pi$ passant par $I$ et orthogonal à la droite $(BS)$ .

5. Déterminer l'intersection $\Gamma$ de la sphère $\Sigma$ et du plan $\Pi$ .

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