2014 : Probabilité

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Catégorie : Probabilité

Une urne contient 9 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche ou rouge. Il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l’urne.On tire au hasard simultanément deux boules dans l’urne et on note leurs couleurs. Soit G l’événement : « Obtenir deux boules de même couleur. »
On note n,b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l’urne.

1. On note g (n,b, r ) la probabilité en fonction de n,b et r de l’événement G.

Démontrer que g (n,b, r )= 0,75 pt

2. Le but de cette question est de trouver les valeurs de n,b et r pour lesquelles la probabilité
g (n,b, r ) est minimale.

L’espace est muni d’un repère orthonormé . Soient les points N,B et R de coordonnées respectives (9,0,0), (0,9,0) et (0,0,9). Soit M le point de coordonnées (n,b, r ).

a. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (NBR) est : . 0,75 pt

b. En déduire que M est un point du plan (NBR). 0,5 pt

c. Démontrer que g (n,b, r ) = . 0,5 pt

d. Déterminer les coordonnées de H, projeté orthogonal du point O sur le plan (N B R). 1 pt

e. En déduire les valeurs de n,b et r pour lesquelles la probabilité g (n,b, r ) est minimale.
Justifier alors que cette probabilité minimale est égale à

3. On suppose que le nombre de boules de chaque couleur a été choisi par l’organisateur d’un jeu, de telle sorte que la probabilité de l’événement G soit

Un joueur mise 1000 francs puis tire au hasard simultanément deux boules dans l’urne. S’il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit k francs. Sinon, il ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

a. Calculer l’espérance E(X) de la variable X en fonction de k. 0,5 pt

b. Déterminer la valeur de k pour que le jeu soit équitable c’est à dire pour que E(X) = 0.   0,25 pt

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