Partie A:
1)
a) Etude des variations de f.
f(x) existe si et seulement si
or pour tout
donc
car
car et
est continue et dérivable sur
est continue et dérivable sur et
pour tout x
donc est continue et dérivable sur
d'où f est continue et dérivable sur comme différence de deux fonctions continues et dérivables sur
donc f est strictement décroissante sur
b)
on en déduit que la droite d'équation est asymptote à
en à la Courbe de f
Tableau de variation
c) est continue strictement décroissante sur donc f réalise une bijection de sur l'image de qui est égale à
2)
a) pour tout donc est définie
d'où
la fonction est dérivable sur et strictement positive.
donc est dérivable sur
or est dérivable sur
d'où g est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur
b)
c)
car et
d) on a
or d'après 2) c) on a pour tout
d'où sur
tableau de variation de g :
courbe de g:
3)
a)
b)
g est continue sur donc existe
on pose et
on obtient et
donc
c) déterminons la limite de
d'où
Partie B:
1) g est continue et strictement décroissante sur
donc elle réalise une bijection de vers
2)
a)
b) montrons que est dérivable au point
est dérivable en 0 et sur
alors est dérivable au point
c) équation de la tangente à au point d'abscisse
donc
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