I. • Dans le cas de l’équiprobabilité, on sait d’après le cours que la probabilité d’un événement quelconque A est calculée par la formule : .
• La probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé, est si p(B) ≠0 :
(après simplification par.
• Qu’il y ait ou non équiprobabilité, une propriété de base des probabilités sur un ensemble fini dit que :
(car est toujours inclus dans A).
(distributivité de par rapport à
(pour tout ensemble B , on a : B
p(A) (pour tout ensemble A , on a
II. 1°) Ces égalités sont des traductions des trois hypothèses faites par l’énoncé.
- On sait que le premier jour, la ville est délestée, donc l’événement D1 : « La ville est délestée le jour » est l’événement certain :
- Si la ville est délestée le jour, c’est-à-dire si est réalisé, alors l’hypothèse est que la probabilité qu’elle le soit le jour suivant (n + 1), est 2/9. Donc
- Si la ville n’est pas délestée le jour, c’est-à-dire si est réalisé, alors l’hypothèse est que la probabilité qu’elle le soit le jour suivant (n + 1), est.
Donc
2°) D’après la quatrième propriété rappelée dans la partie I,
On a remplacé dans cette propriété A par et B par .
3°) Par définition de la probabilité conditionnelle,
Et :
D’où, en remplaçant dans (*),
Soit :
4°) a) (d’après la question précédente)
(simplification de fractions)
Il en résulte que (Un) est une suite géométrique de raison et de premier terme
.
b) D’après une formule du cours sur les suites géométriques,
Et comme
on en déduit que :
ou encore
.
c) La probabilité pour que la ville ne soit pas délestée le jour est
(attention !).
.
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