1.a. Le point est tel que
.
Donc le point est entièrement défini par la relation ;
est tel que soit un parallélogramme.
Le point est tel que
.
Donc le point est entièrement défini par la relation ;
est tel que soit un parallélogramme.
La droite est une droite des milieux pour le triangle , donc a même nature que :
est équilatéral direct
La droite est la médiatrice du segment parce que le triangle est équlatérale. Donc, puisque est le milieu de , l'image du triangle équilatérale direct par la symétrie orthogonale d'axe est un triangle équilatérale indirect.
est la rotation de centre et d'angle . Donc .
Ensuite, .
On sait que est une rotation de même angle que = .
La relation et est équilatéral direct entraîne que le centre de est .
est la rotation de centre et d'angle
On en déduit, puisque que {le triangle est équilatéral direct}.
2. Antécédent
Image par
a. L'angle de est L'angle de est
Le rapport de est . Or . Donc le rapport de est .
On a angle de .
rapport de .
Les trois conditions:
suffisent pour dire que
b. Puisque les similitudes planes directes conservent les angles, on peut lire dans le tableau précédent que:
angle de = .
Or parce que le point appartient au segment .
Donc
et comme les quatre points et ne sont pas alignés, ils sont cocycliques.
De même = angle de = .
D'un autre côté, la droite étant la bissectice du triangle équilatérale indirect , l'angle vaut .
On en déduit que puis que les points et sont cocycliques
En résumé, le point appartient à l'intersection des deux cercles et ; où est le cercle contenant les points et et le cercle contenant les points et .
De plus le point est différent de parce que est fixé par et non.
Ces conditions définissent parfaitement le point
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