Dans le plan affine euclidien on donne une droite et deux points distincts
et
, symétriques par rapport à
.
On désigne par l'hyperbole d'excentricité
qui admet
pour foyer et
pour directrice associée à
.
1. Montrer que est un sommet de
. Déterminer l'autre sommet
en exprimant
en fonction de
% puis le centre
.
Construire géométriquement les directrices de , ses foyers, ses sommets et son centre et donner l'allure de
.
2. Soit un cercle passant par
et centré en un point
de
non situé sur l'axe focal. Construire
sur la figure.
On se propose de montrer que où
et
sont les sommets d'un triangle équilatéral.
On rapporte le plan à un repère orthonormé choisi de façon que
soit un repère de
A chaque point du plan correspond ainsi son affixe
; on désigne par
l'affixe de
.
Montrer que appartient à
si et seulement si :
(On pourra interpréter géométriquement
).
a. Montrer de même que appartient à
si et seulement si :
b. En déduire que est l'ensemble des points du plan dont les affixes
vérifient une équation de la forme :
où
est un nombre complexe qu'on exprimera en fonction de
.
c. Montrer que est le module de
et
un argument de
.
Résoudre alors l'équation et conclure par rapport au problème posé.
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