Partie A
1. a. Les candidats ont le choix entre deux méthodes :
Par dérivation
L'application
a pour dérivé
L'application
a pour dérivé
Il suffit donc d'avoir :
et
l'application
a pour dérivé
l'application
a pour dérivé
il suffit donc d'avoir :
et
Par intégration par partie
En posant et on trouve :
Pour la deuxième égalité, on pose et on trouve :
b. l'exponentielle l'emporte sur les polynômes fg ; et que
et }.
c. Puisque l'intégrale d'une fonction positive et continue sur un intervalle est positive, dérivable et de dérivé , et sont positives, dérivables croissantes sur .
Comme on a, en ajoutant puis en passant à l'inverse :
.
- On en déduit en multipliant par et en intégrant de à
Le dernier membre est une fonction croissante de et d'après le b. (avec ) il a pour limite ; par conséquent, est majorée, et comme elle est croissante, elle a une limite .
On obtient alors par passage à la limite
- On en déduit aussi en multipliant par et en intégrant de à
Le dernier membre est une fonction croissante de et d'après le b. (avec ) il a pour limite ; par conséquent, est majorée, et comme elle est croissante, elle a une limite .
On obtient alors par passage à la limite
d. Le changement de variable conduit à
2. La fonction est dérivable sur et sa dérivée est strictement négative sur
Comme et , est une bijection de sur qui contient . L'équation admet une solution unique .
On a et (avec une machine à calculer), appartient bien à .
3.a. La fonction est continue et dérivable sur et de dérivée . Voici donc le T.V de .
Ce tableau montre que , ce qui entraîne
b. La fonction est dérivable sur et
On déduit de l'inégalité précédente que
puis
La fonction étant continue et dérivable sur , pour tout réel non nul, on peut lui appliquer le théorème des accroissements finis dans l'intervalle d'extrémités et : il existe un réel dans l'intervalle ouvert d'extrémités et tel que \cadre{5cm}.
On en déduit que,
si alors .
Et si alors (Relation évidente puisque est positive).
Ces relations montrent que la courbe est au dessous de la première bissectrice dans et au dessus de la première bissectrice dans .
Comme et que les inégalités précédentes sont \textcolor{red}{strictes}, le réel est bien la seule solution de l'équation
Remarque : La relation montre puisque est paire que
On a donc
PARTIE B
Fixons dans et, pour tout entier naturel , appelons la proposition :
est donc vraie.
Supposons la proposition vraie jusqu'à un entier donné.
Alors
(Isolation du dernier terme de la somme)
(Regroupement des intégrales et réduction au même dénominateur)tex}=(-1)^{n+2}\int_{0}^{x}\dfrac{ u e^{-(2n+4)u}{e^{u} + e^{-u}du{/tex}.
La propriété est donc vraie au rang
On en déduit que pour tout réel positif :
Ainsi .
En tenant compte de la première partie (avec et respectivement), on peut alors passer à la limite quand tend vers et écrire :
Pour trouver une valeur approchée de à près, il suffit de choisir tel que
i.e .
On peut donc choisir et prendre comme valeur approchée de le réel
1. On intègre par parties en posant et
Alors . Il vient
peut donc être vu comme une mesure en unités d'aire de l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équations et la courbe
limite de quand tend vers peut donc être vu comme une mesure en unités d'aire de l'aire du domaine plan délimité par les droites d'équations et la courbe
2. La fonction est continue et dérivable sur et pour tout a le même signe que .
Comme la fonction est paire,
Voici donc le tableau de variations de :
La fonction est deux fois dérivable sur et pour tout .
D'après l'étude faite sur , les points de d'abscisses et sont des points d'inflexion.
Voici la courbe
3. a. est positif et pour tout entier naturel est positif car est positive.
Comme pour tout réel positif on a .
La suite est donc décroissante
La suite décroissante et minorée par , est convergente vers un réel .
La relation et la continuité de permettent d'obtenir par passage à la limite i.e d'après la question b) :
La suite est donc convergente vers .
PARTIE C
1. Comme on a .
.
On a, puisque
:
.
est bien continue au point .
2. a. La fonction étant dérivable sur et dérivable sur est dérivable sur et
b. t Soit un réel strictement positif. Puisque continue sur , dérivable sur , le théorème des accroissements finis permet d'affirmer l'existence d'un réel dans tel que .
Puisque , on a et en prenant l'inverse puis en multipliant par le réel \emph{négatif} on obtient .
On en déduit par transitivité ; puis comme la fonction est croissante : .
Quand tend vers
ce dernier membre ayant pour limite on a :
La fonction n'est donc pas dérivable au point
Remarque : Le théorème suivant qui n'est malheureusement pas au programme bien que souvent utilisé dans les classes terminales :
{Soit une fonction définie et continue sur un intervalle , dérivable sur . Alors
- Si a une limite quand tend vers alors est dérivable au point et
- Si a une limite ou quand tend vers alors n'est dérivable au point .
aurait permis d'établir la non dérivabilité de ; en effet est continue en et
C. Comme est dérivable sur et on a
Mais , donc
Voici le graphe de
En prenant pour la droite , les points et sont confondus et le cercle qu'ils définissent est réduit au point ; donc est bien les seul candidat possible.
et ; donc les quatre points et sont bien cocycliques.
De même et ; donc les quatre points et sont bien cocycliques.
L'angle de est .
On a
Soit un triangle rectangle direct.Pour toute droite passant par , on note et les projetés orthogonaux respectifs de et sur
On veut montrer que lorsque varie, les cercles de diamètre passent par un point fixe.
Montrer que le point , projeté de sur la droite est le seul candidat possible.
Démontrer que les points et sont cocycliques ainsi que les points et . On note et les cercles contenant ces points.
Quel est l'angle de la similitude plane directe de centre qui transforme en ?
Vérifier que l'image par du cercle est le cercle .
On pose . Démontrer que .
En déduire que . Conclure.
Dans le plan orienté, est carré de côté tel que , un point quelconque de la droite différent de . Soit la similitude plane directe de centre qui transforme en .
Les images de et par sont respectivement notées et .
Quelle est la nature du quadrilatère
Prouver que les points et sont alignés
Comparer les angles et .
Montrer que .
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct on note l'affixe du point et un argument de .
Prouver que admet pour argument ou .
En utilisant la réflexion d'axe , montrer que .
En déduire qu'un argument de admet pour mesure
Montrer que si est l'affixe du point , image du point d'affixe par alors .
Déterminer et les affixes respectives des points et en fonction de .
On note et les affixes respectives de et de . en utilisant la question 2, prouver que est un réel et un imaginaire pur.
Prouver que est le projeté orthogonal de sur la droite
En déduire, en utilisant la question 1, que lorsque le point parcourt la droite privée du point , le point appartient à une parabole indépendante du point dont on précisera le foyer et la directrice.
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