Corrigé Epreuve 1998 : Fonctions numeriques et probabilites (05 pts)

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Essentiel du cours

Calcul intégral

Propriétés des intégrales de fonctions paires, impaires périodiques

Terminale S1 et S3

Corrigé Epreuve 1998 : Fonctions numeriques et probabilites (05 pts)

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

1) $f:\longrightarrow f\left( x\right) =\ln \left( x+\sqrt{x {{}^2} +1}\right)$

a) $f(x)$ existe si $x+\sqrt{x {{}^2} +1}>0$

$x+\sqrt{x {{}^2} +1}>0$

$\sqrt{x {{}^2} +1}>-x$

si $x$ $\geq 0$ alors l'inégalité est vraie

si $x<0$ alors $-x>0$ et $x {{}^2} +1>x {{}^2}$ ce qui est vrai

donc $Df=\left] -\infty ,+\infty \right[$ .

si $x\in$ $Df$ alors $-x\in Df$

$f\left( -x\right) =\ln \left( -x+\sqrt{x {{}^2} +1}\right)$

$=\ln \left( \frac{x {{}^2} -\left( x {{}^2} +1\right) }{-x-\sqrt{x {{}^2} +1}}\right)$

$=\ln \left( \frac{1}{-\left( x+\sqrt{x {{}^2} +1}\right) }\right)$

$=-\ln \left( x+\sqrt{x {{}^2} +1}\right)$

$=-f\left( x\right)$

donc $f$ est impaire

b) on peut \'{e}tudier $f$ sur $\left[ 0,+\infty \right[$

sur $\left[ 0,+\infty \right[$ $f$ est continue et dérivable
comme composée de deux

sur $\left[ 0,+\infty \right[$ :

$f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x {{}^2} +1}}}{x+\sqrt{x {{}^2} +1}}$

$=\frac{x+\sqrt{x {{}^2} +1}}{\left( x+\sqrt{x {{}^2} +1}\right) \left( \sqrt{x {{}^2} +1}\right) }$

$=\frac{1}{\sqrt{x {{}^2} +1}}$

$f^{\prime }\left( x\right) >0$ $\forall x\in \left[ 0,+\infty \right[$

$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }f\left( x\right) =+\infty$

et $f\left( 0\right) =0$

Tableau de variation

$g_{3}\left( x\right) =3+\ln \left( x+\sqrt{x {{}^2} +1}\right)$

$=3+\ln \left( x+\sqrt{x {{}^2} +1}\right)$

tableau de variation de

2) a) $g_{k}\left( x\right) =h+f\left( x\right)$

$0<\alpha <\beta <2$ $h>2$

$D_{\alpha }=\left\{ M\left( x,y\right) ,-\alpha \leq x\leq \alpha \text{ et }0\leq y\leq g_{k}\left( x\right) \right\}$ $D_{\alpha }=\left\{ M\left( x,y\right) \text{ }0\leq y\leq g_{k}\left( x\right) \text{ et}-\beta \leq x\leq -\alpha \text{ ou }\alpha <x<\beta \right\}$

$D_{\alpha }=\left\{ M\left( x,y\right) \text{ }0\leq y\leq g_{k}\left( x\right) \text{ et}-2\leq x\leq -\beta \text{ ou }\alpha <x<2\right\}$

voir figure

b) $\ D_{\alpha }\cup D_{\beta }\cup D_{2}$

Soient $A\left( D_{\alpha }\right) ,A\left( D_{\beta }\right) ,A\left( D_{2}\right)$ les aires des domaines $D_{\alpha };D_{\beta };D_{2}$ .

$p\left( D_{\alpha }\right) =kA\left( D_{\alpha }\right)$

$p\left( D_{\beta }\right) =kA\left( D_{\beta }\right)$

$p\left( D_{2}\right) =kA\left( D_{2}\right)$

\bigskip $A\left( D_{\alpha }\right) =\int_{-\alpha }^{\alpha }\left( h+f\left( x\right) dx\right) u.a$

$=\left( \int_{-\alpha }^{\alpha }hdx+\int_{-\alpha }^{\alpha }f\left( x\right) dx\right) u.a$

$A\left( D_{\alpha }\right) =2\alpha$ $u.a$ car $\int_{-\alpha }^{\alpha }f\left( x\right) dx=0$

$f$ $\acute{e}$ tant impaire.

$A\left( D_{\beta }\right) =\left[ \left( \int_{-\beta }^{-\alpha }h+f\left( x\right) dx+\int_{\alpha }^{\beta }h+f\left( x\right) dx\right) \right] u.a$

$=\left[ \left( \int_{-\beta }^{-\alpha }hdx+\int_{\alpha }^{\beta }f\left( x\right) dx+\int_{\alpha }^{\beta }hdx+\int_{-\beta }^{-\alpha }f\left( x\right) dx\right) \right] u.a$

$=2h\left( \beta -\alpha \right) +\int_{-\beta }^{0}f\left( x\right) dx+\int_{0}^{\beta }f\left( x\right) dx+\int_{\alpha }^{0}f\left( x\right) dx+\int_{0}^{-\alpha }f\left( x\right) dx$