Partie A
1. a. Dans 0.1, en dérivant la première équation et en remplaçant par sa valeur tirée de la deuxième équation on obtient :
. Cette dernière équation est équivalente à :
. La fonction
est donc solution de 0.2.
De même, dans 0.1, en dérivant la deuxième équation et en remplaçant par sa valeur tirée de de la première équation on obtient :
. Cette dernière équation est équivalente à :
. La fonction
est donc solution de 0.2, équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficient constants.
b. l'équation caractéristique de 0.2 est .
Si
l'équation caractéristique a pour solutions
et
. La solution générale de
est donc
,
et
constantes arbitaires.
La fonction étant solution de \ref{equaDiff}est de la forme précédente.
La relation donne alors
.
La solution générale de 0.1 est donc
Si
l'équation caractéristique a pour solutions
et
. La solution générale de
est donc
,
et
constantes arbitaires.
La fonction étant solution de 0.2 est de la forme précédente.
La relation donne alors
.
La solution générale de 0.1 est donc
Si
l'équation caractéristique a pour solution
. La solution générale de
est donc
,
et
constantes arbitaires.
La fonction étant solution de 0.2 est de la forme précédente.
La relation donne alors
.
La solution générale de 0.1 est donc
2. Si , il existe deux constantes
telle
La relation et
se traduit par
En faisant la somme et la différence, on trouve : .
Finalement
3. a) Un point de coordonnée
appartient à
si et seulement si
:
En élevant qu carré et en faisant la différence, on obtient
Par conséquent est bien contenue dans la courbe d'équation
b) Pour construire il suffit de savoir que
est la partie
de la conique dont les points ont des coordonnées positives.
est contenue dans
car pour tout réel
et
sont positives.
Réciproquement, soit un point de
c'est à dire un point tel que :
et cherchons
tel que
La relation montre que
est
En posant on doit donc chercher un
tel que
c'est à dire
Les racines de cette dernière équation sont et
Les racines sont de même signe car leur produit est . La racine
est
; en effet
. Donc la racine
est
.
On prendra donc c'est à dire
. Donc
Finalement
Partie B
1. a Un réel appartient à l'ensemble
de définition de
ssi
c'est à dire
.
Donc
.
Quand nous sommes en présence d'une indétermination de la forme
. Pour lever cette indétermination, on peut écrire :
La fonction est dérivable sur
et
Si , la dérivée est
.
Si , la dérivée est
car
.
Lorsque la dérivée est une fonction continue, il existe une méthode peu coûteuse pour déterminer son signe. garde un signe constant dans chaque composante connexe (=intervalle) de
. Pour connaître ce signe, on calcule alors la valeur de
en un point particulier de la composante connexe.
On en déduit que la dérivée ne s'annule pas dans
Au point , le taux d'accroissement est pour
Il a pour limite quand
tend vers
. La fonction
n'est donc pas dérivable à droite au point
et on peut ajouter qu'au point de
dont l'abscisse est
il y a une demi-tangente verticale.
Raisonnement analogue au point ; en ce point le taux d'accroissement est pour
Il a pour limite
quand
tend vers
. La fonction
n'est donc pas dérivable à gauche au point
et on peut ajouter qu'au point de
dont l'abscisse est
il y a une demi-tangente verticale.
tableau de variation en fin de document
Voir le tableau de variation de en fin de document.
b) est continue et strictement décroissante dans l'intervalle
. Sa restriction
à cet intervalle est donc une bijection de
sur
c) Soit et cherchons
tel que
L'application réciproque de est donc définie par
Remaraque 1
1. Une fois que l'on sait que est bijective et puisque que la réciproque est donnée par l'énoncé, il suffit de vérifier que
et
L'étude des variations de montre bien que
.
Or ; donc
2. Si on n'a pas montré que est bijective, il est nécessaire de vérifier que
et
et et
On a pour tout
Les courbes et
étant symétriques par rapport à la première bissectrice,
représente aussi l'aire du domaine plan
délimité par les droites
l'axe des ordonnées et la courbe
.
Soit l'aire du rectangle
et
l'aire du rectangle
.
Alors :
Finalement
.
b) Ici donc
est tel que
c'est à dire
.
c) L'aire demandée est en unités d'aire.
Et puisque ,
unités d'aire
Partie C
1. a) La fonction est définie et continue sur
et
.
et
Voir le tableau de variation de en fin de document.
Posons . Le tableau de variation de
montre que
Démontrons par récurrence que
La propriété est vrai au rang par ce que
.
Supposons que la propriété soit vraie jusqu'à un rang , en particulier
c'est à dire
Alors
.
Par conséquent la propriété est vraie pour tout .
La fonction étant strictement croissante dans
, son taux d'accroissement est strictement positif dans
. Donc, puisque pour tout
et
appartiennent à
, on a :
est strictement positif c'est à dire
.
b) Les réels et
ayant même signe, la suite
garde un signe constant. Cela signifie que la suite
est monotone.
Le signe de est alors celui de
.
La suite est strictement décroissante.
La suite étant décroissante et minorée par
, a une limite
supérieure à
.
c) Puisque la fonction est continue dans
(c'est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas dans
) la relation
entraîne
c'est à dire
ou
. Donc {
.}
2. a) Soient un entier naturel non nul et appliquons le thérème des accroissements finis à
dans l'intervalle
: il existe un réel
dans
tel que
c'est à dire
. Donc
En faisant le produit membre à membre de à
entier supérieur à
on obtient :
c'est à dire après simplification
soit
Puisque et {
, le théorème des gendarmes permet de conclure que
b) La relation montre que pour que
soit tel que
soit inférieur à
,il suffit que
c'est à dire
ou
.
Finalement on peut prendre On peut améliorer ce résultat en remarquant que
et que dans ce intervalle,
. En reprenant le même raisonnement avec cette nouvelle borne on trouve :
})
3. a) Exprimons d'abord le rapport .
En prenant le logarithme on trouve .
La suite est donc géométrique de raison
et de
terme
b) Par conséquent .
Soit en posant
.
Tirons maintenant en fonction de
:
Donc .
Puisque appartient à
, la suite
a pour limite
quand
tend vers
. Donc
.
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