1. Chacun des entiers qui interviennent dans l'écriture d'un nombre en base doit être strictement inférieur à
. Comme l'entier
intervient dans l'écriture de
, on a
2. a. Les données du problème se traduisent par
A =
B =
C =
La relation signifie alors:
soit
ou
b. La relation se traduit par
; ce qui entraîne que
divise
, l'autre facteur étant
.
c. étant un diviseur de
strictement supérieur à
vaut nécessairement
ou
.
Si était égal à
, le facteur
serait égal à
et non à
.
On vérifie ensuite que pour on a bien
.
3. Faisons les divisions euclidiennes successives:
Le nombre qui s'écrit dans la base
à pour écriture
dans la base
.
Vérification!! On a bien:
4.a. Puisque , les relations deviennent:
A = = 37
B = = 54
C = = 1998
Soit {}
b. On a est premier,
.
Donc ppcm .
On en déduit aussi pgcd .
{La propriété pgcd garantit l'existence des solutions de l'équation
.}
5. a. donc le couple
est bien solution de l'équation
.
b. La solution générale de l'équation est
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