A) Soit la fonction numérique définie par :
1) a) Montrer que est continue et dérivable sur .
b) Etablir que pour tout réel x, on a:
2) Etudier les variations de et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal .(unité graphique cm).
On précisera les points d'inflexion éventuels.
B) Soit la fonction définie sur par:
et
Dans cette partie, on se propose d'étudier et sa dérivée au voisinage de .
1) a) Etablir que est impaire et dérivable sur
b) Montrer que pour tout réel strictement positif on a :
c) En déduire que est continue en 0
2) Pour tout entier naturel et tout réel on pose pour non nul et
(on remarquera donc que pour tout non nul.)
a) En utilisant la relation et en intégrant par parties, montrer que pour tout
b) En déduire que pour tout entier naturel et tout x on a :
c) En déduire puis que est dérivable à droite de 0.
3)a) En utilisant la relation , montrer que
b) En déduire que
c) Montrer que pour tout
En déduire que est continue en 0.
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