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Terminale S1 et S3

2007 : Nombres complexes et propriétés d’un triangle équilatéral

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Catégorie : algèbre


Soient {\alpha} et {\beta} deux nombres complexes quelconques. On pose j=e^{\frac{2i\pi } {3}}
et pour tout complexe z : {f\left( z\right) ={} }{{z^{3}+\alpha z^2+\beta z}}.

 

1. Montrons que f\left( 1\right) +f\left( j\right) +f\left( j^2\right)  \textrm{=} 3 . (On notera que {{{ 1 +j + j^2 }}}\, \textrm{=}\, {0}et{j^3\textrm{=}1}.

 

2.a. En déduire que{\left|{f\left( 1\right) }\right|+\left|{f\left( j\right) }\right|+\left|{f\left( j^2\right) }\right| \geq 3 }.

 

b. En utilisant a., montrer que l'un des nombres réels{{ }|{{f{\left( 1\right) }}|{}}}{\mathrm{;}}{{}|{{f{\left( j\right) }}|{}}} et{\left|{f\left( j^2\right) }\right|} est supérieur ou égal à 1.

 

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct {\left( {O}{\mathrm{,}}{{\vec u{\mathrm{,}} \vec v }}\right) }. ABC est un triangle équilatéral  direct  de centre de gravité O et tel que l'affixe  de A soit réel   r strictement positif fixé.  I et J sont deux  points quelconques du plan d'affixes respectives a et b.

 Dans cette question on prend  \alpha=-\frac{a+b }{r}  et \beta=\frac{ab }{r^2}

 

a. Montrer que les affixes respectifs de B et C sont rj et  rj^{2}

 

b. Montrer que{{ BO}\cdot{{BI}\cdot{BJ }}}={{r^{3}\left|{f\left( j\right) }\right| }}.Calculer de la même manière {CO}\cdot{{CI}\cdot{CJ }}et {AO}\cdot{{AI}\cdot{{AJ}\cdot{}}}

 

c. Montrer que le triangle ABC a au moins un sommet S vérifiant : {SO}\cdot{{SI}\cdot{SJ}} \geq r^{3}

 

 

 

 

 

 

 

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