Partie A
1.a. .
La fonction est définie, continue et dérivable sur I et de dérivée
, fonction strictement négative.
et
.
Voici le tableau de variations de
image
La fonction est définie, continue et dérivable sur I et de dérivée
.
la dérivée est si et seulement si
c'est à dire
et elle s'annule seulement si x= e.
et
.
Voici le talbeau de variations de
b.
et seulement si x=e
Donc dans l'intervalle est au dessous de
et dans l'intervalle
est au dessus de
Voici les courbes et
2. L'aire demandée vaut en unités d'aire
a pour primitives dans I,
.
Pour tout avec u = lnx
Donc a pour primitives dans I,
.
Partie B
1.a. Appelons la propriété "
est dérivable sur I"
Nous savons déjà que est dérivable sur
est donc vraie.
Supposons varie pour un entier n donné, c'est à dire
est dérivable sur I.
Alors l'application est dérvable sur I et de dérivé
; par conséquent
, produit de
et de g est dérivable sur I ;
est donc vraie.
b. D'après le a, pour tout entier naturel n, est dérivable sur
est donc vraie.
2.a. Soit s un élèment de I.
En intégrant la relation de la question précédente , on obtient
c'est à dire
ou, puisque
b. Soit p un entier naturel non nul et s un élèment de I.
En sommant la relation précédente de 0 à p-1 on obtient
c'est à dire
ou, en ajoutant aux deux membres
3.a. Pour tout entier naturel non nul n, appelons la propriété
Nous savons déjà que ;
est donc vrais.
Supposons vraie pour un entier non nul n donné, c'est à dire
Alors .
Mais pour tout t dans s'écrit
avec v = lnt, l'application
est donc une primitive
Par conséquent est donc vraie.
b. Pour tout x dans ,on a puisque la fonction ln est croissante :
, donc
On en déduit que
Puisque , le théorème des gendarmes permet de conclure que
c. De la question 2, on tire en remplacant x par e :
et en faisant tendre p vers
soit en remplaçant par
et sachant que
Et en multipliant par e :
Partie A
1)
a) La fonction est continue sur
donc elle y admet des primitives. Soit L l'un d'entre elles.
Donc ,
_ donc H est définie sur , et dérivable sur
.
b)
Ainsi
or
et
d'où
Ainsi ,
avec
2) a) G dérivable sur
F dérivable sur
g dérivable sur
d'où
_ or
On en déduit que
b)
donc
et
entraine
d'où
Partie B
1)a)
d'où
b)
or
c)
donc
2)
a)
b)
c) On a
donc
or
d'où =
or
d'où
Partie A
1)
a) est continue et dérivable sur
(image)
b) g est continue et strictement décroissante sur donc elle d\'{e}finit une bijection de
dans
comme
\
il existe un unique réel
tel que
d'où
admet une solution unique
dans
l'intervalle .
c)
donc
d'où
d) les variations de indique :
sur
sur
si
ou
(image)
on a et
2 )
a) montrons que est impaire
donc si
d'où est impaire
Montrons que est dérivable en
d'où est dérivable en
et
\textquotedblright
b) est continue et dérivable sur
tableau de variation sur
(image)
c) soit
,h est continue et dérivable sur
tableau de variation
(image)
donc pour tout
d'où pour tout
soit la tangente à
en
a pour l'équation
on a pour ,
donc
d'où pour et
pour
on en déduit que est en dessous de
pour
et
est au
dessus de pour
On choisit
Partie B
1)
soit
on a f est continue et positive sur donc
est l'aire en unit d'aire du domaine D.
soit
f est continue et négative sur donc
est l'aire en unit
\'{e} d'aire du domaine .
Par ailleurs et
sont symétriques par rapport à
d'ou
et
sont les aires de deux parties isométriques du
plan .
On en déduit que
Et pour tout c'est \`{a} dire
est paire .
Variation de F sur
est l'aire du domaine
donc
est croissante sur
2) On a pour ,
3) pour
on a et
donc pour on a
4)
\ \
on a \
pour
Or
donc
Or
donc
Or
d' où
donc
Or
d'où
2)
Soit avec
a)
Montrer que G dérivable sur
dérivable sur
et la valeurs dans
or x F(x) dérivable sur
donc par composition dérivable sur
Calcul de
'
'
'
avec
donc '
donc
avec
donc soit
b)
donc
ainsi
d' où
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