1.a.
b. et
sont des nombres pairs,
produit de nombres impairs, est impair; donc
est un nombre pair.
c. ;
est donc divisible par
et
. Oui
et
appartiennent à
.
2.a. Les valeurs possibles de sont
b. .
étant premier et strictement supérieur à
, est premier avec
; donc, d'après le petit théorème de Fermat
. On obtient, en multipliant par
:
En appliquant ce résultat à puis
, on en déduit modulo
c. Puisque divise
et qu'il est premier avec
, il divise
d'après le théorème de Gauss; donc
.
d. et
appartiennent à
et si
est un nombre premier strictement supérieur à
, il appartient aussi à
.
est donc l'ensemble de tous les nombres premiers.
1.a. On a, pour tout réel compris entre
et
:
.
Puis en intégrant:.
C'est à dire.
b. .
2.a. En réduisant le deuxième membre au même dénominateur, on obtient:
Donc et
sont tels que
et
,\;
. Alors
et
; ce qui entraîne
.
Par conséquent
3.a. On a avec
.
Donc en procédant à une ittération: . Ensuite
.
b. Dans les inégalités de la question {1.a.}, remplaçons l'intégrale par sa valeur tirée de la question {1.b.}
.
ce qui permet d'encadrer :
Puis sommons membre à membre ces inégalités depuis à
, on obtient la relation demandée :
Comme , le théorème des gendarmes permet de conclure que
.
c. La relation établie dans la question{1.b.} donne par sommation:
ou en faisant intervenir la relation de Schales pour les intégrales:
Ensuite en intégrant:
Finalement .
Puisque et
, on en déduit que
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